Massimi e minimi con il teorema del Dini

[antony_8]

Ciao ragazzi , oggi sono alla prese con un esercizio d'esame il qual chiede:
Dato il luogo di zeri:
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f(x,y,z) = arctg(x^2) + log(1+yz) + cos(x+y) -1 + e^ysin(x+z) =0
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verificare che in un intorno di $P=(0,0,0)$, definisce implicitamente una funzione $g(x, y)$. Scrivere l’equazione del piano tangente a $g(x,y)$ in $P=(0,0,0)$ e la matrice Hessiana in $(0,0)$ della funzione $g(x,y)$. Il punto $(0,0)$ e' un punto di massimo o di minimo per $g(x,y)$?

Ora, il mio problema e': per il punto $(0,0)$ devo verificare che sia di massimo o di minimo, quindi devo ottenere $g_x(0,0) = 0$ e $g_y(0,0) = 0$ ma a me viene
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g_x(0,0) = - \frac{f_x(0,0,g(0,0))}{f_z(0,0,g(0,0))} = -\frac{1}{1} = -1
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g_y(0,0) = -\frac{f_y(0,0,g(0,0))}{f_z(0,0,g(0,0))} = - \frac{0}{1} = 0
$
quindi g(0,0) non e' un punto critico, di conseguenza non e' un punto di massimo o di minimo.

Il ragionamento che ho fatto e' corretto oppure sto saltando qualche passaggio?
Ringrazio anticipatamente chiunque per la risposta .

[Quinzio]

Ricontrolla la $g_x$, a me viene 0.

[antony_8]

Ciao Quinzio grazie per avermi risposto. Allora a me esce:
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f_x(x,y,z) = \frac{2x}{x^4+1}+e^ycos(x+z)-sin(x+y) \rightarrow f_x(0,0,0) = 0+1*1-0 = 1
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g_x(0,0) = -\frac{1}{1}
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Sto sbagliando?