Massimi e minimi assoluti vincolati
salve a tutti,
in questa settimana dovrò affrontare l'esame di analisi 2
ma ho ancora qualche dubbio su qualche esercizio,ad esempio
i massimi e minimi assoluti vincolati.
che differenza c'è nello svolgimento dell esercizio tra massimi e minimi assoluti vincolati e qualli non vincolati?
ad esempio quest'esercizio come si svolge:
" Determinare i minimi e massimi assoluti vincolati della funzione f(x,y):1-x^2-y^2
con vincolo D=[(x,y): (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1"
grazie in anticipo
in questa settimana dovrò affrontare l'esame di analisi 2
ma ho ancora qualche dubbio su qualche esercizio,ad esempioi massimi e minimi assoluti vincolati.
che differenza c'è nello svolgimento dell esercizio tra massimi e minimi assoluti vincolati e qualli non vincolati?
ad esempio quest'esercizio come si svolge:
" Determinare i minimi e massimi assoluti vincolati della funzione f(x,y):1-x^2-y^2
con vincolo D=[(x,y): (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1"
grazie in anticipo
Risposte
ciao la tua domanda sembra un pò sciocca! la differenza tra le due sostanzialmente è che ad una vai a studiare i punti critici di una funzione in un dominio dato, l'altra invece vuole che si studino i punti critici di un dominio realtivo ad un vincolo, nel tuo caso la circonferenza di centro l'origine e raggio 1 ed è abbastanza ovvio . Per questo esercizio t consiglio di parametrizzare la circonf. opure puoi usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange.
sò che era un pò stupida come domanda, ma ho mille dubbi ,e parecchia ansia:S:S
ti chiedo un altra cosa non è che potresti spiegarmi un pò meglio come svolgere l'esercizio??
grazie mille per la pronta risposta
ti chiedo un altra cosa non è che potresti spiegarmi un pò meglio come svolgere l'esercizio??
grazie mille per la pronta risposta
Supponiamo nota la definizione di massini e minimi relativi ed assoluti; i massimi ed i minimi non vincolati di una funzione sono i massimi ed i minimi della stessa su tutto il suo dominio, mentre i massimi ed i minimi vincolati di una funzione sono i massimi ed i minimi della stessa su un sottoinsieme del suo dominio, detto per l'appunto vincolo.
L'esercizio che tu proponi riguarda appunto la ricerca di massimo e minimo vincolati di una funzione; questi esercizi si possono risolvere sostanzialmente in due modi:
1) con la regola dei moltiplicatori di Lagrange: se f è la funzione obiettivo e $varphi$ è la funzione che esprime il vincolo S, un punto x è di massimo o minimo locale (detti punti di Lagrange) per f su S se vale la condizione
$nabla f[x]=lambda nabla varphi[x]$
dove $lambda$ è detto appunto moltiplicatore di Lagrange;
2) mediante una parametrizzazione: se il vincolo è luogo di zeri di una funzione $C^1$ (nel caso in cui non lo sia puoi ricondurti ad una tale spezzando l'insieme in più sottoinsiemi, ma non credo sia sempre possibile) parametrizzi il vincolo dimodochè tutti i suoi punti siano del tipo (t,g[t]) oppure (g[t],t); successivamente sostituisci tali coordinate nella funzione obiettivo in modo da ricondurti ad un problema di massimo e minimo in una variabile.
Ora, nell'esercizio che tu proponi sembra più conveniente utilizzare la regola dei moltiplicatori di Lagrande (RML) perchè la parametrizzazione del vincolo non sembra avere un'espressione così semplice; dunque definiamo la funzione obiettivo e la funzione vincolo ponendo
$f[x,y]:=1-x^2-y^2$
$varphi[x,y]:=(x-1)^2+(y-1)^2-1$
(osserviamo infatti che l'insieme S può ora essere definito come il luogo di zeri della funzione vincolo cioè
$S:={(x,y)inbbbR^2 : varphi[x,y]=0}$)
Procediamo:
Premessa Definite la funzione obiettivo e vincolo entrambe sono $C^1$ poichè polinomiali e quindi anche differenziabili; inoltre l'insieme S è una sottovarietà di $bbbR^2$ poichè soddisfa le ipotesi del Dini e quindi la RML è applicabile su tutto S.
Esistenza di massimo e minimo L'insieme S è chiuso perchè è il luogo di zeri della funzione continua $varphi$ avente dominio chiuso; S è pure limitato poichè è contenuto in $B_1(1,1)$. Quindi, per il teorema di Weierstrass, f ammette massimo e minimo su S.
RML I punti di Lagrange sono i punti $(x,y)inS$ tali che $nabla f[x,y]=lambda nabla varphi[x,y]$
Per procedere trovi tali punti e confronti tra loro i valori di f assunti negli stessi e scopri quale punto è di massimo e quale di minimo locale/globale.
L'esercizio l'ho già risolto e se vuoi posso postare la soluzione, non so...
Comunque spero di non aver fatto errori e di essere stato abbastanza chiaro!
L'esercizio che tu proponi riguarda appunto la ricerca di massimo e minimo vincolati di una funzione; questi esercizi si possono risolvere sostanzialmente in due modi:
1) con la regola dei moltiplicatori di Lagrange: se f è la funzione obiettivo e $varphi$ è la funzione che esprime il vincolo S, un punto x è di massimo o minimo locale (detti punti di Lagrange) per f su S se vale la condizione
$nabla f[x]=lambda nabla varphi[x]$
dove $lambda$ è detto appunto moltiplicatore di Lagrange;
2) mediante una parametrizzazione: se il vincolo è luogo di zeri di una funzione $C^1$ (nel caso in cui non lo sia puoi ricondurti ad una tale spezzando l'insieme in più sottoinsiemi, ma non credo sia sempre possibile) parametrizzi il vincolo dimodochè tutti i suoi punti siano del tipo (t,g[t]) oppure (g[t],t); successivamente sostituisci tali coordinate nella funzione obiettivo in modo da ricondurti ad un problema di massimo e minimo in una variabile.
Ora, nell'esercizio che tu proponi sembra più conveniente utilizzare la regola dei moltiplicatori di Lagrande (RML) perchè la parametrizzazione del vincolo non sembra avere un'espressione così semplice; dunque definiamo la funzione obiettivo e la funzione vincolo ponendo
$f[x,y]:=1-x^2-y^2$
$varphi[x,y]:=(x-1)^2+(y-1)^2-1$
(osserviamo infatti che l'insieme S può ora essere definito come il luogo di zeri della funzione vincolo cioè
$S:={(x,y)inbbbR^2 : varphi[x,y]=0}$)
Procediamo:
Premessa Definite la funzione obiettivo e vincolo entrambe sono $C^1$ poichè polinomiali e quindi anche differenziabili; inoltre l'insieme S è una sottovarietà di $bbbR^2$ poichè soddisfa le ipotesi del Dini e quindi la RML è applicabile su tutto S.
Esistenza di massimo e minimo L'insieme S è chiuso perchè è il luogo di zeri della funzione continua $varphi$ avente dominio chiuso; S è pure limitato poichè è contenuto in $B_1(1,1)$. Quindi, per il teorema di Weierstrass, f ammette massimo e minimo su S.
RML I punti di Lagrange sono i punti $(x,y)inS$ tali che $nabla f[x,y]=lambda nabla varphi[x,y]$
Per procedere trovi tali punti e confronti tra loro i valori di f assunti negli stessi e scopri quale punto è di massimo e quale di minimo locale/globale.
L'esercizio l'ho già risolto e se vuoi posso postare la soluzione, non so...
Comunque spero di non aver fatto errori e di essere stato abbastanza chiaro!
wow,grazie mille,sei stato chiarissimo.
se mi potresti postare anche l'esercizio svolto cosi da vedere se ho capito bene:D
ti ringrazio in anticipo
se mi potresti postare anche l'esercizio svolto cosi da vedere se ho capito bene:D
ti ringrazio in anticipo
"marco.bre":
1) con la regola dei moltiplicatori di Lagrange: se f è la funzione obiettivo e $varphi$ è la funzione che esprime il vincolo S, un punto x è di massimo o minimo locale (detti punti di Lagrange) per f su S se vale la condizione
ehm... hai scambiato una condizione necessaria per una sufficiente
Ricordo che la regola dei moltiplicatori di Lagrange fornisce una CN di max o min relativo in presenza di vincoli di uguaglianza, sotto le ipotesi che la funzione obiettivo e le funzioni che individuano i vincoli siano di classe $C^1$, e purché sia soddisfatta la condizione di non degenerazione
Ok, allora... la condizione precedente sui gradienti si traduce nel sistema
${(-2x=lambda(2x-2)),(-2y=lambda(2y-2)),((x-1)^2+(y-1)^2=1):}$;
dalla prima segue x=y (ricavi x e y e trovi che entrambe sono pari a $lambda/(lambda+1)$) e dalla seconda segue $x=y=1+-(sqrt2)/2$ (sostituendo y=x), da cui i due punti di Lagrange sono
$A:=(1-(sqrt2)/2,1-(sqrt2)/2)$
$B:=(1+(sqrt2)/2,1+(sqrt2)/2)$.
Quindi valutiamo il valore assunto da f nei due punti ed otteniamo
$f[A]=-2(1+sqrt2)=min_Sf$
$f=-2(1-sqrt2)=max_Sf$
${(-2x=lambda(2x-2)),(-2y=lambda(2y-2)),((x-1)^2+(y-1)^2=1):}$;
dalla prima segue x=y (ricavi x e y e trovi che entrambe sono pari a $lambda/(lambda+1)$) e dalla seconda segue $x=y=1+-(sqrt2)/2$ (sostituendo y=x), da cui i due punti di Lagrange sono
$A:=(1-(sqrt2)/2,1-(sqrt2)/2)$
$B:=(1+(sqrt2)/2,1+(sqrt2)/2)$.
Quindi valutiamo il valore assunto da f nei due punti ed otteniamo
$f[A]=-2(1+sqrt2)=min_Sf$
$f=-2(1-sqrt2)=max_Sf$
[/quote]
"ehm... hai scambiato una condizione necessaria per una sufficiente
Ricordo che la regola dei moltiplicatori di Lagrange fornisce una CN di max o min relativo in presenza di vincoli di uguaglianza, sotto le ipotesi che la funzione obiettivo e le funzioni che individuano i vincoli siano di classe $C^1$, e purché sia soddisfatta la condizione di non degenerazione[/quote]
Hai ragione, mi hai giustamente corretto
un conto è avere le cose chiare in testa ed un altro scriverle in italiano corretto!!!
(Scusate ho sbagliato qualcosa nel quotare)
"ehm... hai scambiato una condizione necessaria per una sufficiente
Ricordo che la regola dei moltiplicatori di Lagrange fornisce una CN di max o min relativo in presenza di vincoli di uguaglianza, sotto le ipotesi che la funzione obiettivo e le funzioni che individuano i vincoli siano di classe $C^1$, e purché sia soddisfatta la condizione di non degenerazione[/quote]
Hai ragione, mi hai giustamente corretto
un conto è avere le cose chiare in testa ed un altro scriverle in italiano corretto!!!(Scusate ho sbagliato qualcosa nel quotare)
okkei,capito perfettamente,grazie mille a tutti 
ps:date un occhiata anche alle altre due discussioni che ho postato("derivate parziali e direzionali","forme differenziali esatte e primitiva " ),ve ne sarei immensamente grato
ps:date un occhiata anche alle altre due discussioni che ho postato("derivate parziali e direzionali","forme differenziali esatte e primitiva " ),ve ne sarei immensamente grato
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