Massimi e minimi assoluti (funz.due var.)
Salve.
Ho svolto questo esercizio sullo studio di continuità,derivabilità, differenziabilità, max e min relativi e assoluti della seguente funzione:
$ arctan(\sqrt(e^(x^2+3y^2)))$ nel dominio $D$ delimitato dalla parabola di equazione $y=x^2-1 $ e la retta $y=3$
-La funzione è continua su $R^2$
-E' derivabile su tutto il dominio
-E' differenziabile
Inoltre ho come minimo locale il punto $Po=(0,0)$.
Riguardo ai massimi e minimi assoluti ho applicato il metodo dei moltiplicatori:
$ L= arctan(\sqrt(e^(x^2+3y2)))+\lamda_1(y-x^2+1)+\lamda_2(y-3)$
Lasciando da parte ora le equazioni per $ L'_x $ e $L'_y$, ho che per $L'_\(lamda_1)$ e $L'_\(lamda2)$:
\begin{cases}
x=\pm 2\\
y=3
\end{cases}
Quindi: $P_1=(2,3),\ P_2=(-2,3)$
Sostituendo nella funzione:
$f(P_1)=f(P_2)= arctan(sqrt(e^31))$
Il numero che ottengo è ~$pi/2$ oppure 1.57 in gradi
Come faccio a capire se è un max o min?
GRazie
Ho svolto questo esercizio sullo studio di continuità,derivabilità, differenziabilità, max e min relativi e assoluti della seguente funzione:
$ arctan(\sqrt(e^(x^2+3y^2)))$ nel dominio $D$ delimitato dalla parabola di equazione $y=x^2-1 $ e la retta $y=3$
-La funzione è continua su $R^2$
-E' derivabile su tutto il dominio
-E' differenziabile
Inoltre ho come minimo locale il punto $Po=(0,0)$.
Riguardo ai massimi e minimi assoluti ho applicato il metodo dei moltiplicatori:
$ L= arctan(\sqrt(e^(x^2+3y2)))+\lamda_1(y-x^2+1)+\lamda_2(y-3)$
Lasciando da parte ora le equazioni per $ L'_x $ e $L'_y$, ho che per $L'_\(lamda_1)$ e $L'_\(lamda2)$:
\begin{cases}
x=\pm 2\\
y=3
\end{cases}
Quindi: $P_1=(2,3),\ P_2=(-2,3)$
Sostituendo nella funzione:
$f(P_1)=f(P_2)= arctan(sqrt(e^31))$
Il numero che ottengo è ~$pi/2$ oppure 1.57 in gradi
Come faccio a capire se è un max o min?
GRazie
Risposte
Ciao Dr.Hermann,
Comincerei con l'osservare che la funzione proposta $z = f(x, y) = arctan(\sqrt(e^(x^2+3y^2))) $ è pari e ha dominio naturale $\RR^2 $ e codominio $C = {z \in \RR : \pi/4 \le z < \pi/2} $
Poi non capisco molto la complicazione dei moltiplicatori di Lagrange, dato che da
${(y = x^2 - 1),(y = 3):} $
si trovano immediatamente i due punti che hai scritto $P_1(2,3) $ e $P_2(-2,3) $. Dato che la funzione è pari, basta vedere cosa accade nel punto $P_1$, perché poi nel punto $P_2 $ sarà lo stesso.
$ z_1 = f(P_1) = arctan(sqrt(e^31)) ~~ \pi/2 $
Di fatto la differenza fra $\pi/2 $ e $arctan(sqrt(e^31)) $ è un numero positivo dell'ordine di $10^{-7} $, quindi si tratta chiaramente di un massimo. Il punto di minimo l'hai già trovato, si trova nel punto $O(0, 0) $ e si ha:
$z_O = f(O) = arctan(1) = \pi/4 $
Comincerei con l'osservare che la funzione proposta $z = f(x, y) = arctan(\sqrt(e^(x^2+3y^2))) $ è pari e ha dominio naturale $\RR^2 $ e codominio $C = {z \in \RR : \pi/4 \le z < \pi/2} $
Poi non capisco molto la complicazione dei moltiplicatori di Lagrange, dato che da
${(y = x^2 - 1),(y = 3):} $
si trovano immediatamente i due punti che hai scritto $P_1(2,3) $ e $P_2(-2,3) $. Dato che la funzione è pari, basta vedere cosa accade nel punto $P_1$, perché poi nel punto $P_2 $ sarà lo stesso.
$ z_1 = f(P_1) = arctan(sqrt(e^31)) ~~ \pi/2 $
Di fatto la differenza fra $\pi/2 $ e $arctan(sqrt(e^31)) $ è un numero positivo dell'ordine di $10^{-7} $, quindi si tratta chiaramente di un massimo. Il punto di minimo l'hai già trovato, si trova nel punto $O(0, 0) $ e si ha:
$z_O = f(O) = arctan(1) = \pi/4 $
Ciao Pilloeffe!
Si è vero, infatti i due punti potevano essere trovati senza i moltiplicatori, me ne sono reso conto quando ho riprovato a fare l'esercizio. Solo non ho capito cosa intendi quando dici:
"Di fatto la differenza fra $π/2$ e $ arctan(sqrt(e^31))$ è un numero positivo dell'ordine di $10^(−7)$, quindi si tratta chiaramente di un massimo. "
Si è vero, infatti i due punti potevano essere trovati senza i moltiplicatori, me ne sono reso conto quando ho riprovato a fare l'esercizio. Solo non ho capito cosa intendi quando dici:
"Di fatto la differenza fra $π/2$ e $ arctan(sqrt(e^31))$ è un numero positivo dell'ordine di $10^(−7)$, quindi si tratta chiaramente di un massimo. "
Beh, dai un'occhiata al codominio della funzione $ C = {z \in \RR : \pi/4 \le z < \pi/2} $
In pratica la funzione proposta non può mai assumere il valore $z = \pi/2 $, ma si avvicina molto a tale valore nei punti considerati.
In pratica la funzione proposta non può mai assumere il valore $z = \pi/2 $, ma si avvicina molto a tale valore nei punti considerati.
Perfetto ora ho capito. Ti ringrazio, gentilissimo come sempre!
Qui si può fare una osservazione preliminare che semplifica moltissimo tutto lo svolgimento (non so se questa osservazione è implicita nel post di pilloeffe, che ho solo scorso rapidamente). La funzione data è $f(x, y)=g(x^2+3y^2)$ con $g(t)=\arctan(\sqrt(e^t))$, e quest'ultima è una funzione strettamente crescente, quindi i punti di massimo e minimo di $f$ sono gli stessi della funzione $(x, y)-> x^2+3y^2$. E questi ultimi si determinano molto rapidamente; il minimo assoluto è in $(0,0)$, i massimi assoluti sono negli unici "spigoli" del dominio, ovvero $(\pm 2, 3)$, come si vede studiando le funzioni di una variabile $x->x^2+27$ e $x->x^2+3(x^2-1)^2$ per $x\in [-2, 2]$.
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