Massimi e minimi assoluti e relativi funzione due variabili
Salve a tutti,
sto cercando di risolvere degli esercizi che richiedono di trovare i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti per una funzione di due variabili e vorrei alcuni chiarimenti. Inizio col distinguere due casi: quando la funzione è definita in un insieme compatto e quando, invece, è definita in un insieme illimitato.
Se la funzione è definita in un insieme compatto controllo che sia continua in tale insieme in modo tale che per il teorema di Weierstrass posso affermare che essa ammette valori di massimo e minimo assoluti. I punti da trovare e da controllare sono:
1. I punti critici interni al dominio.
2. I punti interni a derivata nulla quando faccio le diverse restrizioni come funzione di una variabile.
3. Gli estremi degli intervalli delle varie restrizioni, che equivale a controllare gli pseudovertici della figura geometrica ben visibile nel piano.
Mentre per i punti di massimo e minimo relativi considero i punti critici interni al dominio e li studio uno per volta per dividerli fra punti di massimo relativo, minimo relativo, punti di sella.
Penso che fino a qui il ragionamento sia corretto. I dubbi mi sorgono invece quando la funzione è definita in un insieme illimitato. In questo caso ho pensato che per i punti di massimo e minimo relativi si può procedere nello stesso modo ma per quanto riguarda i punti di massimo e minimo assoluti come faccio a dire che esistono ed in questo caso a determinarli? Ho pensato di vedere se la funzione è limitata superiormente ed inferiormente vedendo se esistono e sono finiti i limiti $lim_((x,y)->+oo)f(x,y)$ e $lim_((x,y)->-oo)f(x,y)$ per poi provare a calcolare i valori di massimo e minimo assoluti. Ma il fatto che la funzione sia limitata implica in ogni caso l'esistenza degli estremi assoluti? Altrimenti come posso procedere?
sto cercando di risolvere degli esercizi che richiedono di trovare i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti per una funzione di due variabili e vorrei alcuni chiarimenti. Inizio col distinguere due casi: quando la funzione è definita in un insieme compatto e quando, invece, è definita in un insieme illimitato.
Se la funzione è definita in un insieme compatto controllo che sia continua in tale insieme in modo tale che per il teorema di Weierstrass posso affermare che essa ammette valori di massimo e minimo assoluti. I punti da trovare e da controllare sono:
1. I punti critici interni al dominio.
2. I punti interni a derivata nulla quando faccio le diverse restrizioni come funzione di una variabile.
3. Gli estremi degli intervalli delle varie restrizioni, che equivale a controllare gli pseudovertici della figura geometrica ben visibile nel piano.
Mentre per i punti di massimo e minimo relativi considero i punti critici interni al dominio e li studio uno per volta per dividerli fra punti di massimo relativo, minimo relativo, punti di sella.
Penso che fino a qui il ragionamento sia corretto. I dubbi mi sorgono invece quando la funzione è definita in un insieme illimitato. In questo caso ho pensato che per i punti di massimo e minimo relativi si può procedere nello stesso modo ma per quanto riguarda i punti di massimo e minimo assoluti come faccio a dire che esistono ed in questo caso a determinarli? Ho pensato di vedere se la funzione è limitata superiormente ed inferiormente vedendo se esistono e sono finiti i limiti $lim_((x,y)->+oo)f(x,y)$ e $lim_((x,y)->-oo)f(x,y)$ per poi provare a calcolare i valori di massimo e minimo assoluti. Ma il fatto che la funzione sia limitata implica in ogni caso l'esistenza degli estremi assoluti? Altrimenti come posso procedere?
Risposte
"phyro93":
Salve a tutti,
I punti da trovare e da controllare sono:
1. I punti critici interni al dominio.
2. I punti interni a derivata nulla quando faccio le diverse restrizioni come funzione di una variabile.
3. Gli estremi degli intervalli delle varie restrizioni, che equivale a controllare gli pseudovertici della figura geometrica ben visibile nel piano.
Per quanto riguarda i punti interni quelli da osservare sono solo:
1. i punti critici (che hanno derivate nulle);
2. eventuali punti di non differenziabilita', per lo studio dei quali si puo' ricorrere a restrizioni.
Poi devi guardare il bordo. Se ad esempio e' un quadrato ti basta studiare le restrizioni su ogni lato, se e' un cerchio la restrizione alla circonferenza; a volte puo' essere piu' comodo studiare altre restrizioni, dipende un po' dai casi.
"phyro93":
Ho pensato di vedere se la funzione è limitata superiormente ed inferiormente vedendo se esistono e sono finiti i limiti $lim_((x,y)->+oo)f(x,y)$ e $lim_((x,y)->-oo)f(x,y)$ per poi provare a calcolare i valori di massimo e minimo assoluti.
L'idea e' buona, ma quei limiti scritti cosi' non hanno senso. I limiti all'infinito possono essere calcolati solo lungo restrizioni. Infatti in un piano ti puoi muovere verso l'infinito in infinite direzioni, non esiste un $+infty$ e un $-infty$.
"phyro93":
Ma il fatto che la funzione sia limitata implica in ogni caso l'esistenza degli estremi assoluti? Altrimenti come posso procedere?
Per funzioni di 1 variabile funziona? Da questo puoi capire se funziona per funzioni di 2 variabili (pensa ai grafici).
Ti dico come faccio io di solito, come hai detto esistono in linea generale due casi:
1-$Dom(f)=A$ compatto di $RR^N$ e $f$ continua;
2-$Dom(f)=A$ aperto generico di $RR^N$ e $f$ continua;
Caso 1):
a-Weierstrass ammette l'esistenza di massimo e minimo;
b-Calcoli i punti critici $grad(f(a))=vec 0$, ed isoli i punti che non appartengono all'interno di $A$. Se ci sono estremanti relativi
nell'interno questi devono per forza essere tra i punti trovati che non hai isolato.
c-Naturalmente gli estremanti relativi possono appartenere anche alla $Fr(A)$ in questo caso hai due vie:
c1-se è possibile suddividi il dominio in segmenti $S_1,S_2....$ e ti calcoli $F|_(S_1), F|_(S_2)..$ identificandola con una funzione ad una variabile per poi calcolare gli estremanti di quest'ultima.
c2-se $Fr(A)$ è una sottovarietà differenziale caratteristica di $RR^N$ applichi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (in sostanza imponi un vincolo);
d-per tutti i punti trovati calcoli $f(a)$ e trovi i punti di massimo,minimo e sella;
Caso 2):
a')-Verichi che la funzione sia di Classe $C_2$ (ammetta tutte le derivate parziali di ordine $2$ e queste sia continue);
b')-Calcoli i punti critici $grad(f(a))=vec 0$;
c')-Sfrutti le proprietà del differenziale secondo come applicazione bilineare lavorando sulla matrice Hessiana (simmetrica per Schwarz) calcolata nei punti trovati nel passo b') e quindi guardi quando $d^2f(a)$ è (semi-)/definito positivo/negativo oppure nè l'uno nè l'altro;
Purtroppo non conosco altri metodi che dovresti utilizzare in caso di situazioni problematiche (es. trovi infiniti punti critici...); per quello devi aspettare che passi di qui un matematico
P.s
La funzione arcotangente fa proprio al caso tuo:
-il Dominio non è un compatto $=>$ non vale Weiestrass;
-$f$ è limitata superiormente e inferiormente;
-$f$ tuttavia non ammette nè massimo nè minimo.
1-$Dom(f)=A$ compatto di $RR^N$ e $f$ continua;
2-$Dom(f)=A$ aperto generico di $RR^N$ e $f$ continua;
Caso 1):
a-Weierstrass ammette l'esistenza di massimo e minimo;
b-Calcoli i punti critici $grad(f(a))=vec 0$, ed isoli i punti che non appartengono all'interno di $A$. Se ci sono estremanti relativi
nell'interno questi devono per forza essere tra i punti trovati che non hai isolato.
c-Naturalmente gli estremanti relativi possono appartenere anche alla $Fr(A)$ in questo caso hai due vie:
c1-se è possibile suddividi il dominio in segmenti $S_1,S_2....$ e ti calcoli $F|_(S_1), F|_(S_2)..$ identificandola con una funzione ad una variabile per poi calcolare gli estremanti di quest'ultima.
c2-se $Fr(A)$ è una sottovarietà differenziale caratteristica di $RR^N$ applichi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (in sostanza imponi un vincolo);
d-per tutti i punti trovati calcoli $f(a)$ e trovi i punti di massimo,minimo e sella;
Caso 2):
a')-Verichi che la funzione sia di Classe $C_2$ (ammetta tutte le derivate parziali di ordine $2$ e queste sia continue);
b')-Calcoli i punti critici $grad(f(a))=vec 0$;
c')-Sfrutti le proprietà del differenziale secondo come applicazione bilineare lavorando sulla matrice Hessiana (simmetrica per Schwarz) calcolata nei punti trovati nel passo b') e quindi guardi quando $d^2f(a)$ è (semi-)/definito positivo/negativo oppure nè l'uno nè l'altro;
Purtroppo non conosco altri metodi che dovresti utilizzare in caso di situazioni problematiche (es. trovi infiniti punti critici...); per quello devi aspettare che passi di qui un matematico
P.s
"phyro93":
Ma il fatto che la funzione sia limitata implica in ogni caso l'esistenza degli estremi assoluti? Altrimenti come posso procedere?
La funzione arcotangente fa proprio al caso tuo:
-il Dominio non è un compatto $=>$ non vale Weiestrass;
-$f$ è limitata superiormente e inferiormente;
-$f$ tuttavia non ammette nè massimo nè minimo.
"robbstark":
[quote="phyro93"]Ho pensato di vedere se la funzione è limitata superiormente ed inferiormente vedendo se esistono e sono finiti i limiti $lim_((x,y)->+oo)f(x,y)$ e $lim_((x,y)->-oo)f(x,y)$ per poi provare a calcolare i valori di massimo e minimo assoluti.
L'idea e' buona, ma quei limiti scritti cosi' non hanno senso. I limiti all'infinito possono essere calcolati solo lungo restrizioni. Infatti in un piano ti puoi muovere verso l'infinito in infinite direzioni, non esiste un $+infty$ e un $-infty$.[/quote]
Ho scritto in quel modo i limiti perché non sapevo come scriverli correttamente con ASCIIMathML visto che ora sto iniziando ad usarlo comunque so che per calcolare i limiti devo controllare nelle infinite direzioni usando opportune restrizioni
"lordb":
Caso 2):
a')-Verichi che la funzione sia di Classe $C_2$ (ammetta tutte le derivate parziali di ordine $2$ e queste sia continue);
b')-Calcoli i punti critici $grad(f(a))=vec 0$;
c')-Sfrutti le proprietà del differenziale secondo come applicazione bilineare lavorando sulla matrice Hessiana (simmetrica per Schwarz) calcolata nei punti trovati nel passo b') e quindi guardi quando $d^2f(a)$ è (semi-)/definito positivo/negativo oppure nè l'uno nè l'altro
Non ho capito il punto c') in pratica prima verifico che la funzione sia di Classe $C_2$ poi trovo i punti critici sempre ponendo le derivate parziali uguali a zero ma poi se creo la matrice Hessiana nei punti critici trovati e ne analizzo il determinante non trovo solo i punti di massimo e minimo relativo e i punti di sella? Per trovare gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti che devo fare? Ad esempio se mi devo calcolare gli eventuali punti di massimo e minimo sia assoluti che relativi nella funzione $f(x,y)=x^2/(x^2+y^2)$ vedo che il dominio è illimitato e i punti critici sono i punti $(x,0)$ e $(0,y)$ ma poi in questo modo vedo solo che i punti $(x,0)$ sono massimi relativi ed i punti $(0,y)$ sono minimi relativi come devo fare a vedere se sono punti di massimo e minimo assoluto?
Io ti posso dire come farei (ma come ti avevo detto sarebbe meglio aspettare il passaggio di un matematico 
):
$Dom(f)={(x,y)inRR^2 | x inR,yinR-{0}}$.
$Im(f)={zinRR | 0<=z<=1}$
$gradf(x,y)=vec 0$ vale per le coppie $(x,0)inDom(f)$ e $(0,y)inDom(f)$.
$f(x,0)=1$ $AA x inRR$.
$f(0,y)=0$ $AA y in RR-{0}$.
$Im(f)$ è un compatto identificabile con l' intervallo $[0,1]$.
E' evidente allora che $(x,0) AAx in RR$ sono tutti punti di massimo e $(0,y) AAy in R-{0}$ sono tutti punti di minimo.
):$Dom(f)={(x,y)inRR^2 | x inR,yinR-{0}}$.
$Im(f)={zinRR | 0<=z<=1}$
$gradf(x,y)=vec 0$ vale per le coppie $(x,0)inDom(f)$ e $(0,y)inDom(f)$.
$f(x,0)=1$ $AA x inRR$.
$f(0,y)=0$ $AA y in RR-{0}$.
$Im(f)$ è un compatto identificabile con l' intervallo $[0,1]$.
E' evidente allora che $(x,0) AAx in RR$ sono tutti punti di massimo e $(0,y) AAy in R-{0}$ sono tutti punti di minimo.
"lordb":
$Dom(f)={(x,y)inRR^2 | x inR,yinR-{0}}$.
$Im(f)={zinRR | 0<=z<=1}$
mi trovo per quanto riguarda il dominio ma come hai fatto a calcolare l' $Im(f)$ ? Se vai a fare il limite a $+oo$ ad esempio se consideri le restrizioni $x=0$ e $y=0$ non viene una volta $0$ e l'altra $1$ ? Quindi il limite non dovrebbe esistere o sbaglio?
Bhè il fatto che $min(Im(f))=0$ è immediato.
Il $max(Im(f))=1$ si verifica subito poichè la disuguaglianza $x^2/(x^2+y^2) > 1$ non ammette soluzioni.
Il $max(Im(f))=1$ si verifica subito poichè la disuguaglianza $x^2/(x^2+y^2) > 1$ non ammette soluzioni.
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