Massimi e minimi assoluti e relativi

[Sirio1988]

Salve a tutti,
volevo sottoporvi il seguente esercizio

Calcolare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione

$f(x,y)=(xy+x+y+x^2+2y^2)^2e^(-(xy+x+y+x^2+2y^2)^2)$

nel suo campo di esistenza. Calcolare poi gli estremi assoluti della restrizione della funzione
all'insieme

$T={(x,y)inRR^2:xy+x+y+x^2+2y^2<=0}$

Mi interesserebbe sapere qual'è il metodo risolutivo da applicare per un esercizio del genere.

[Nomadje]

Noti innanzitutto che la funzione in questione è $C^{\infty}(\RR^{2})$, quindi i massimi/minimi assoluti coincidono con i massimi/minimi dell'insieme dei massimi/minimi relativi, a meno delle valutazioni agli estremi del dominio (solo nel caso in cui questo sia chiuso puoi determinare eventuali altri massimi/minimi assoluti, ma in questo caso non lo è perchè $f$ è definita su tutto $\RR^2$, quindi al più puoi constatare che non esistono massimi/minimi assoluti).
Quindi calcoli tutti i massimi/minimi relativi risolvendo $\grad f(x,y)=0$ , valuti $f$ in quei punti, e in ultimo li confronti con $f(x,y)$ , $x\to\infty$ e $y\to\infty$.

Per risolvere il secondo problema, utilizza i moltiplicatori di Lagrange, su Wikipedia sono spiegati a prova di matto!

Edit: scusa, avevo letto male, non avevo visto che la condizione determinava una regione e non una curva.
In questo io utilizzerei comunque i moltiplicatori di Lagrange, e poi li confronterei con eventuali massimi/minimi relativi trovati all'interno della regione $T$, in quanto sono sufficientemente sicuro che i punti che stai cercando sono quelli che hai già calcolato, oppure si trovano sulla frontiera di $T$.