Massimi e minimi assoluti di una fuzione di due variabili
Ho la funzione $ f(x,y)=4-x^2-y^2 $ calcolata sul dominio che ha come restrizioni $ { (x,y)in mathbb(R^2) : x^2+y^2<=4;x>= 0 } $.
Mi sono calcolato i punti critici di f in D e ho un solo punto $ (0,0) $.
Quando vado a trovare i punti critici vincolati sul bordo D, mi esce $ f(t)=-4 $ .
Come posso andare avanti
Mi sono calcolato i punti critici di f in D e ho un solo punto $ (0,0) $.
Quando vado a trovare i punti critici vincolati sul bordo D, mi esce $ f(t)=-4 $ .
Come posso andare avanti
Risposte
Per prima cosa dovresti dire che tipo di punto è quello che hai trovato. Tieni presente che sul tuo dominio si ha $x^2+y^2-4\le 0$ e pertanto la funzione che segno avrà?
Inoltre, ti faccio presente che il bordo è costituito da due curve: l'arco di circonferenza di centro l'origine e raggio 2 che va dal punto $A(-2,0)$ al punto $B(0,2)$ e l'intervallo dell'asse y $B$ fino ad $A$.
Che vuol dire che $f(t)=-4$????
Inoltre, ti faccio presente che il bordo è costituito da due curve: l'arco di circonferenza di centro l'origine e raggio 2 che va dal punto $A(-2,0)$ al punto $B(0,2)$ e l'intervallo dell'asse y $B$ fino ad $A$.
Che vuol dire che $f(t)=-4$????
Il punto $ (0,0) $ è un punto di minimo.
Poi ho parametrizzato la circonferenza con $ { ( x=2cost ),( y=2sent ):} $ con $ - pi /2 <= t <= pi /2 $ .
Ma mi sa che è sbagliata. Devo parametrizzare le due curve separatamente?
Poi ho parametrizzato la circonferenza con $ { ( x=2cost ),( y=2sent ):} $ con $ - pi /2 <= t <= pi /2 $ .
Ma mi sa che è sbagliata. Devo parametrizzare le due curve separatamente?
"Alele88":
Il punto $ (0,0) $ è un punto di minimo.
Poi ho parametrizzato la circonferenza con $ { ( x=2cost ),( y=2sent ):} $ con $ - pi /2 <= t <= pi /2 $ .
Ma mi sa che è sbagliata. Devo parametrizzare le due curve separatamente?
Dici? Io invece sono certo che sia un massimo, dal momento che sul dominio da te indicato la funzione risulta sempre positiva e che si ha
$$0\le 4-x^2-y^2\le 4$$
e guarda caso $f(0,0)=4$. Per la parametrizzazione hai bisogno di due curve: una è quella che hai scritto, sulla quale risulta però $f(2\cos t, 2\sin t)=0$, l'altra è quella dell'intervallo dell'asse y, per cui puoi scrivere $\gamma(t)=(0,2-t)$ con $t\in[0,4]$ e per la quale risulta $f(0,2-t)=2t-t^2$, funzione che puoi studiare facilmente.
Sì sì, massimo, 
, ho sbagliato a scrivere.
Proverò con questa parametrizzazione
, ho sbagliato a scrivere.Proverò con questa parametrizzazione
Per quanto riguarda la parametrizzazione dell'arco di circonferenza, uscendo uguale a zero, che significa? Che non esistono punti critici su quel bordo?
Prima cosa, cercare i punti critici sul bordo non è una cosa tanto intelligente.
Detto questo, il fatto che venga sempre zero e sapendo che la funzione che hai scritto su quel dominio è tale che $0\le f(x,y)\le 4$, questo cosa ti fa concludere?
Detto questo, il fatto che venga sempre zero e sapendo che la funzione che hai scritto su quel dominio è tale che $0\le f(x,y)\le 4$, questo cosa ti fa concludere?
L'esercizio mi dice di trovare i punti critici vincolati di f sul bordo di D, e quindi mi tocca farlo
Che non esistono?
Che non esistono?
Scusami, conosci la definizione di punto critico? Sul bordo "non" ci sono punti critici, ma solo eventuali punti di massimo o minimo. I punti critici (quelli dove si annullano le derivate parziali) si trovano all'interno del dominio, sul bordo si cercano massimi e minimi.
"Alele88":
L'esercizio mi dice di trovare i punti critici vincolati di f sul bordo di D, e quindi mi tocca farlo
Che non esistono?
Significa che ogni punto di $x^2+y^2=4, x\ge0$ è un punto di minimo.
Si dice che la funzione $f$ ha un minimo nel punto $x_0\in D$ se esiste un intorno di $D$ tale che $f(x)\ge f(x_0)$.
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