Massimi e minimi assoluti di una funzione in un'intervallo definito

[domax931]

salve ragazzi, ho svolto un esercizio e volevo sapere se era corretto, grazie in anticipo per la il tempo dedicatomi, questo è lo svolgimento:
determinare max e min assoluti nell'intervallo 1,4
la f(x) è questa
$ x^2/logx $
nell'intervallo $[1,4]$

la f'(x) è questa
$(x(2logx-1))/(log^2(x)) $

ponendo f'(x) = 0
avremo un unico punto $ x=sqrte $
quindi ho tre punti da analizzare. $1,4 , sqrte$
$f(1)=no soluzioni$
$f(4)= 16/log(4) \simeq 11,54 $
$f(sqrte)=2e \simeq 5,43$

quindi il valore di minim assoluto è $sqrte$
mentre massimo assoluto $4$

[Zero87]

"domax93":$f(1)=no soluzioni$
$f(4)= 16/log(4) \simeq 11,54 $
$f(sqrte)=2e \simeq 5,43$

quindi il valore di minim assoluto è $sqrte$
mentre massimo assoluto $4$

Calma, che succede per $x->1^+$? Cosa puoi dire di quel massimo "assoluto" ( ) che trovi?

[domax931]

ma devo considerarlo come se fosse un limite? 1+ a destra, dato che a sinistra non esiste. in questo caso il risultato è + infinito, quindi non esiste massimo assoluto. ma dovrei scrivere proprio limite per x->1+ (fx)? la stessa cosa andrebbe fatta per l'altro estremo? cioè 4-
grazie

[Zero87]

"domax93":ma devo considerarlo come se fosse un limite? 1+ a destra, dato che a sinistra non esiste.[\quote]
Devi considerarlo un limite perché non è un punto del dominio di $f$. Anzi, non capisco perché trovi scritto $[1,4]$, sarebbe stato meglio $]1,4]$ proprio per questo motivo.

Se il punto è compreso, il limite non serve, sostituisci e via. La definizione di funzione continua - una delle tante, in topologia, ad es., era tosta, era proprio una definizione con le palle - dice proprio che per $x->x_0$ hai $f(x)->f(x_0)$ e se $x_0$ appartiene al dominio puoi sostituire e via e ottieni il valore.

in questo caso il risultato è + infinito, quindi non esiste massimo assoluto. ma dovrei scrivere proprio limite per x->1+ (fx)? la stessa cosa andrebbe fatta per l'altro estremo? cioè 4-
grazie

Per $x=4$ sostituisci, come detto, proprio perché in $4$ non ci sono discontinuità e $4$ è un punto del dominio di $f$ (vale, poi, la definizione di continuità). Per $x=1$ devi fare il limite perché $1$ non è un punto nel dominio. Per il resto, quindi, hai concluso che non esiste un massimo assoluto. Casomai relativo perché esiste un intorno sinistro di $4$ per cui la funzione assume valori inferiori di $f(4)$.

[domax931]

tutto chiaro ma ho ricontrollato il testo e dice [1,4]

[Zero87]

No, ma don't worry, ci credo! E' solo che è una cosa strana perché in $1$ la $f$ non è definita.