Massimi e minimi assoluti di una funzione in due variabili
Ciao a tutti,
ho svolto un esercizio ma non riesco a capire se ho fatto bene o male in quanto sul libro segue un'altra strada.
Devo determinare i massimi e minimi di $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ al variare del punto $(x,y)$ nel cerchio $A={x^2+y^2\le1}$
Io ho ragionato così:
Cerco i punti estremanti interni al vincolo, ossia in $A={x^2+y^2<1}$.
Vedo dove si annulla il gradiente che è dato da $ \nablaf(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) $
Per vedere dove si annulla il gradiente, risolvo il sistema
$ { ( 2x+y=0 ),( 2y+x=0 ):} $
Ricavo i punti $(0,0)$ che è un punto interno al vincolo dove il gradiente si annulla.
Uso l'Hessiana per vedere se tale punto è di massimo, minimo o sella.
$ | ( 2 , 1 ),( 1 , 2 ) |=4-1=3>0 $
Quindi il punto $(0,0)$ è un punto di minimo locale e in tale punto $f(x,y)=f(0,0)=0$
Adesso cerco i punti estremanti nel bordo di $A$, cioè in $A={x^2+y^2=1}$
Dato che $f(x,y)\in C^{(1)}$ e $g(x,y)=x^2+y^2-1 \in C^{(1)}$ posso usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, risolvendo il sistema
$ { ( 2x+y+2\lambdax=0 ),( 2y+x+2\lambday=0 ), (x^2+y^2-1=0):} $
Da cui trovo i punti $A(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$, $B(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$, $C(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ e $D(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$
e vedo che $f(A)=f(B)=\frac{3}{2}$ mentre $f(C)=f(D)=\frac{1}{2}$
Quindi, se ho fatto i passaggi bene, come concludo? Che la funzione ha massimo assoluto nei punti $A$ e $B$ e questo vale $\frac{3}{2}$? Mentre ha minimo assoluto in $(0,0)$ e questo vale $0$?
Grazie mille a tutti.
ho svolto un esercizio ma non riesco a capire se ho fatto bene o male in quanto sul libro segue un'altra strada.
Devo determinare i massimi e minimi di $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ al variare del punto $(x,y)$ nel cerchio $A={x^2+y^2\le1}$
Io ho ragionato così:
Cerco i punti estremanti interni al vincolo, ossia in $A={x^2+y^2<1}$.
Vedo dove si annulla il gradiente che è dato da $ \nablaf(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) $
Per vedere dove si annulla il gradiente, risolvo il sistema
$ { ( 2x+y=0 ),( 2y+x=0 ):} $
Ricavo i punti $(0,0)$ che è un punto interno al vincolo dove il gradiente si annulla.
Uso l'Hessiana per vedere se tale punto è di massimo, minimo o sella.
$ | ( 2 , 1 ),( 1 , 2 ) |=4-1=3>0 $
Quindi il punto $(0,0)$ è un punto di minimo locale e in tale punto $f(x,y)=f(0,0)=0$
Adesso cerco i punti estremanti nel bordo di $A$, cioè in $A={x^2+y^2=1}$
Dato che $f(x,y)\in C^{(1)}$ e $g(x,y)=x^2+y^2-1 \in C^{(1)}$ posso usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, risolvendo il sistema
$ { ( 2x+y+2\lambdax=0 ),( 2y+x+2\lambday=0 ), (x^2+y^2-1=0):} $
Da cui trovo i punti $A(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$, $B(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$, $C(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ e $D(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$
e vedo che $f(A)=f(B)=\frac{3}{2}$ mentre $f(C)=f(D)=\frac{1}{2}$
Quindi, se ho fatto i passaggi bene, come concludo? Che la funzione ha massimo assoluto nei punti $A$ e $B$ e questo vale $\frac{3}{2}$? Mentre ha minimo assoluto in $(0,0)$ e questo vale $0$?
Grazie mille a tutti.
Risposte
"TeM":
(occhio anche al fatto che con \(A\) hai battezzato due enti differenti).
Grazie per la risposta, e scusami per gli errori di calcolo. Provvedo a correggere.
Quello che non ho capito è la parte che ti ho citato.
"TeM":
[quote="bugger"][quote="TeM"](occhio anche al fatto che con \(A\) hai battezzato due enti differenti).
Quello che non ho capito è la parte che ti ho citato.[/quote]
È una sottigliezza, però nello stesso esercizio scrivi \(A = \{x^2 + y^2 \le 1\}\) e poi \(A\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \; \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) che a rigore non
è corretto. Già che ci sono, per perfezionare ancora qualcosa, se \(\Omega := \{x^2 + y^2 \le 1\}\), allora l'interno di \(\Omega\) è \(\overset{o}{\Omega} = \{x^2 + y^2 < 1\}\), mentre il bordo di \(\Omega\) è denotato con \(\partial\Omega = \{x^2 + y^2 = 1\}\). Tutto qui.
[/quote]Grazie mille. Notazioni di interno e bordo che non conoscevo. Non si smette mai di imparare
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