Massimi e minimi assoluti di una funzione a due variabili

[Simonito1]

Salve a tutti,
Vorrei postare un esercizio che ho fatto ma purtroppo non ho i risultati per vedere se ho fatto bene.
Praticamente chiede di calcolare gli estremi assoluti nell'insieme X.
La funzione è:
$f(x,y)=x^(2)*(y+1)-2y$

Nell'insieme $X=y^(2)-x^(2)>=1$ e $0<=y<=2$

Soluzione:
Ho trovato che per $y=2$( nella restrzione alla retta di eq. $y=2$) ho il punto $P(0,2)$ è di min assoluto ottenuto derivando e facendo il segno. Trovo anche che tutti i punti del grafico sono anche essi punti di min assoluti proprio disegnando il grafico senza avere max assoluti è giusto?. Spero di essere stato chiaro grazie a chi mi risponde.

[dissonance]

Che grafico?

È giusto che \((0,2)\) è un minimo assoluto; si può vedere velocemente osservando che
\[
f(x, y)=x^2(y+1)-2y\ge -2y, \]
perché \(y+1\ge 0\) sul dominio assegnato. Ora, il termine \(-2y\) è minimo per \(y=2\), e l'ultima disuguaglianza è una uguaglianza se e solo se \(x=0\). In conclusione, \(f(x, y)\ge f(0, 2)\) per ogni \((x, y)\) nel dominio assegnato.

[Simonito1]

Mi riferisco al grafico della mia restrizione in quando un'equazione è quella di un'iperbole con vertici sull'asse $y$ mentre l'altra è la retta. Essendo che la mia funzione al suo interno è positiva allora assumo che tutti i punti della mia restrizione che sono i punti dell'iperbole sono punti di minimo assoluti compreso il punto $P(0,2)$.
Grazie mille per la risposta.