Massimi e minimi assoluti di funzione di due variabili
Ciao, devo trovare massimi e minimi assoluti di questa funzione [tex]$f(x,y) = 3+log(x^2+y^2-2x+2)$[/tex] ristretta all'insime [tex]$X = \{(x; y) \in R^2 : x^2 + y^2 <= 1\}$[/tex].
Ho cominciato notando che la funzione all'interno di tale circonferenza di raggio $1$ e centro $(0,0)$ è sempre definita, è positiva ed è continua quindi per il teorema di Weierstrass ammetterà certamente massimo e minimo.
Calcolando le derivate parziali rispetto ad $x$ e $y$ trovo che non si annullano mai all'interno della circonferenza
[tex]$\left\{\begin{matrix}f_x = 2x-2=0\\ f_y = 2y=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ y=0\end{matrix}\right.$[/tex]
Quindi non mi resta che guardare che succede sulla frontiera, e qui mi sono bloccato, cioè ho fatto in questo modo, mi ricavo la $y$ dall'equazione della circonferenza in funzione di $x$, e ottengo [tex]$y=\pm \sqrt{1-x^2}$[/tex], poi calcolo la restrizione della funzione alla frontiera andando a sostituire il valore di $y$ alla $f(x,y)$ e ottengo [tex]$f(x,\pm \sqrt{1-x^2})=3+\log(3-2x)$[/tex] ne calcolo la derivata [tex]$f_x=\frac{-2}{3-2x}$[/tex] e scopro che non si annulla mai, com è possibile? Sulla frontiera non deve esserci almeno un punto di massimo e di minimo visto che all'interno non ho trovato nulla??
Ho cominciato notando che la funzione all'interno di tale circonferenza di raggio $1$ e centro $(0,0)$ è sempre definita, è positiva ed è continua quindi per il teorema di Weierstrass ammetterà certamente massimo e minimo.
Calcolando le derivate parziali rispetto ad $x$ e $y$ trovo che non si annullano mai all'interno della circonferenza
[tex]$\left\{\begin{matrix}f_x = 2x-2=0\\ f_y = 2y=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ y=0\end{matrix}\right.$[/tex]
Quindi non mi resta che guardare che succede sulla frontiera, e qui mi sono bloccato, cioè ho fatto in questo modo, mi ricavo la $y$ dall'equazione della circonferenza in funzione di $x$, e ottengo [tex]$y=\pm \sqrt{1-x^2}$[/tex], poi calcolo la restrizione della funzione alla frontiera andando a sostituire il valore di $y$ alla $f(x,y)$ e ottengo [tex]$f(x,\pm \sqrt{1-x^2})=3+\log(3-2x)$[/tex] ne calcolo la derivata [tex]$f_x=\frac{-2}{3-2x}$[/tex] e scopro che non si annulla mai, com è possibile? Sulla frontiera non deve esserci almeno un punto di massimo e di minimo visto che all'interno non ho trovato nulla??
Risposte
Hai trovato che le derivate non si annullano dentro la circonferenza... ma il punto $(1,0)$ sta sul bordo, e quindi sarà uno dei tuoi estremi. Se vuoi analizzare il comportamento completo sul bordo, tuttavia, la sostituzione che operi non ti darà molte informazioni, in quanto non "parametrizza" il bordo stesso. Prova a sostituire [tex]$x=\cos t,\ y=\sin t$[/tex] (parametrizzazione standard della circonferenza) e vedi cosa succede.
Scusami ma dai calcoli che hai fatto si evince che il punto $P=(1,0)$ è un punto stazionario, ora tramite la matrice Hessiana bisogna capire se quello è eventualmente un punto di massimo o di minimo.
@ ciampax
Ciao
Posso chiederti un favore? Puoi spendere qualche parolina in più su questo fatto, per piacere? Che intendi quanto dici che non "parametrizza" il bordo stesso?
Faccio questa domanda perchè l'altro giorno sono inciampato in un problema simile a quello postato da soni. Avevo una funzione di due variabili di cui dovevo determinare max e min ristretti a un insieme (mi pare proprio lo stesso insieme postato da soni). Dopo il solito discorso sui punti interni, andavo a valutare la funzione sulla frontiera dell'insieme. Ebbene, usando la parametrizzazione in seno e coseno mi uscivano fuori conti abbastanza pesanti, con la parametrizzazione $(t, pm sqrt(1-t^2))$ invece i conti si semplificavano parecchio...
Grazie
Ciao
"ciampax":
Se vuoi analizzare il comportamento completo sul bordo, tuttavia, la sostituzione che operi non ti darà molte informazioni, in quanto non "parametrizza" il bordo stesso. Prova a sostituire [tex]$x=\cos t,\ y=\sin t$[/tex] (parametrizzazione standard della circonferenza) e vedi cosa succede.
Posso chiederti un favore? Puoi spendere qualche parolina in più su questo fatto, per piacere? Che intendi quanto dici che non "parametrizza" il bordo stesso?
Faccio questa domanda perchè l'altro giorno sono inciampato in un problema simile a quello postato da soni. Avevo una funzione di due variabili di cui dovevo determinare max e min ristretti a un insieme (mi pare proprio lo stesso insieme postato da soni). Dopo il solito discorso sui punti interni, andavo a valutare la funzione sulla frontiera dell'insieme. Ebbene, usando la parametrizzazione in seno e coseno mi uscivano fuori conti abbastanza pesanti, con la parametrizzazione $(t, pm sqrt(1-t^2))$ invece i conti si semplificavano parecchio...
Grazie
Il problema della parametrizzazione con le radici è che, in quel caso, usi 2 parametrizzazioni: quella della semicirconferenza superiore e quella della semicirconferenza inferiore. In questo caso il problema è che i punti di massimo e minimo risultano $(1,0)$ e $(-1,0)$ (ho già svolto i calcoli) che con la parametrizzazione con le radici non risultano "visibili". In generale, anche se può sembrare che le cose si semplifichino, è sempre meglio usare una parametrizzazione "globale" (anche se non è sempre detto che riesci a prendere tutti i punti) della curva su cui vai a restringere lo studio della funzione.
Caspita, è un bel tranello 
Ti ringrazio per la spiegazione, ho capito e ho rivisto il mio esercizio (perfettamente analogo a questo, anche nei risultati: il massimo - che non trovavo
- cadeva proprio in $(1,0)$ come in questo caso).
Diciamo che mi sorprende abbastanza questa cosa, nel mio piccolo pensavo che tutte le parametrizzazioni andassero bene. Ovviamente, alcune sono più semplici da gestire, più immediate, altre più laboriose e complicate, ma non pensavo ci potessero essere differenze di questo genere.
Ti ringrazio molto.
Ti ringrazio per la spiegazione, ho capito e ho rivisto il mio esercizio (perfettamente analogo a questo, anche nei risultati: il massimo - che non trovavo
- cadeva proprio in $(1,0)$ come in questo caso). Diciamo che mi sorprende abbastanza questa cosa, nel mio piccolo pensavo che tutte le parametrizzazioni andassero bene. Ovviamente, alcune sono più semplici da gestire, più immediate, altre più laboriose e complicate, ma non pensavo ci potessero essere differenze di questo genere.
Ti ringrazio molto.
Mi permetto di fare una piccola osservazione di tipo geometrico.
La funzione da minimizzare è $f(x,y) = 3+\log[(x-1)^2+y^2+1] = 3+\log[d(x,y)^2+1]$, dove $d(x,y) := \sqrt{(x-1)^2+y^2}$ è la distanza dal punto $P=(1,0)$.
Dunque $f(x,y) = \phi(d(x,y))$, con $\phi : [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da $\phi(t) := 3 + \log(1+t^2)$.
Poiché $\phi$ è strettamente monotona crescente in $[0,+\infty)$, si tratta dunque di trovare i punti del cerchio $X$ che stiano a minima e massima distanza da $P$.
Dal momento che $P\in X$, è chiaro che $P$ è punto di minimo assoluto.
E' altrettanto chiaro che il punto di massimo assoluto è $Q = (-1, 0)$.
@Paolo90: per non farsi "fregare" dalle parametrizzazioni a pezzi è sufficiente aggiungere, alla lista dei candidati punti di estremo assoluto, anche i punti iniziali e finali delle curve parametrizzate.
La funzione da minimizzare è $f(x,y) = 3+\log[(x-1)^2+y^2+1] = 3+\log[d(x,y)^2+1]$, dove $d(x,y) := \sqrt{(x-1)^2+y^2}$ è la distanza dal punto $P=(1,0)$.
Dunque $f(x,y) = \phi(d(x,y))$, con $\phi : [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da $\phi(t) := 3 + \log(1+t^2)$.
Poiché $\phi$ è strettamente monotona crescente in $[0,+\infty)$, si tratta dunque di trovare i punti del cerchio $X$ che stiano a minima e massima distanza da $P$.
Dal momento che $P\in X$, è chiaro che $P$ è punto di minimo assoluto.
E' altrettanto chiaro che il punto di massimo assoluto è $Q = (-1, 0)$.
@Paolo90: per non farsi "fregare" dalle parametrizzazioni a pezzi è sufficiente aggiungere, alla lista dei candidati punti di estremo assoluto, anche i punti iniziali e finali delle curve parametrizzate.
Grazie ciampax, ma questa eccezzione si ha solo con le radici o può capitare in altri casi? Cioè in generale come faccio a capire se la parametrizzazione che ho scelto mi restitutisce tutti i punti o no?
@Rigel, ho letto dopo il tuo post, utile osservazione!
@Rigel, ho letto dopo il tuo post, utile osservazione!
"Rigel":
@Paolo90: per non farsi "fregare" dalle parametrizzazioni a pezzi è sufficiente aggiungere, alla lista dei candidati punti di estremo assoluto, anche i punti iniziali e finali delle curve parametrizzate.
Se non sbaglio, è quello che succede su domini poligonali: ad esempio, se il dominio è un triangolo, parametrizzo i tre segmenti che corrispondono ai lati e trovo i punti interni candidati ad essere max e min assoluti. Poi devo aggiungere i vertici del triangolo (insomma, è sempre la stessa storia: Fermat vale solo per punti interni).
Ok?
Grazie per i chiarimenti
"Paolo90":
Se non sbaglio, è quello che succede su domini poligonali: ad esempio, se il dominio è un triangolo, parametrizzo i tre segmenti che corrispondono ai lati e trovo i punti interni candidati ad essere max e min assoluti. Poi devo aggiungere i vertici del triangolo (insomma, è sempre la stessa storia: Fermat vale solo per punti interni).
Ok?
Grazie per i chiarimenti
Esatto.
Infatti la condizione necessaria di estremalità si basa proprio sul fatto di parametrizzare localmente il vincolo (diciamo con $x = x(u)$, $u$ che varia in un opportuno spazio di parametri) e di applicare la nota condizione necessaria (gradiente nullo) alla funzione composta $u\mapsto f(x(u))$.
Tale condizioni necessaria è valida solo se $u$ è un punto interno dell'insieme dei parametri (assumendo ovviamente $f$ differenziabile e vincolo localmente esplicitabile).
L'osservazione di ciampax è sostanzialmente questa: se vuoi evitare di introdurre ulteriori canditati (che magari poi uno si dimentica per strada...), quando è possibile cerca di parametrizzare globalmente il vincolo.
Quanto mi piace quando, gettando un sasso, si genera una discussione tanto prolifica! Soprattutto se poi, le stesse persone che ti hanno posto una domanda, arrivano da soli a concludere e ragionare sopra le cose! Ok, fine OT!
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