Massimi e minimi assoluti
ciao a tutti, ho un dubbio nella parte finale di questo esercizio...spero che qualcuno mi possa aiutare al piu' presto perche' lunedi' ho l'esame di analisi 2 !! 
Studiare massimi e minimi assoluti della funzione $f(x; y)$ =$(x^2 - y^2) (x-2)$
nel triangolo A di vertici O(0; 0), P (2; 2) e Q (2; 2).
parto col fare le derivate parziali rispetto a x e a y per metterle a sistema e cercare i punti stazionari:
$fx$ = $3x^2 -4x -y^2=0 $
$fy$ = $-2xy+4y=0 $
risolvendo il sistema trovo i punti :
$A( 0;0) B( 4/3;0) C(2;-2) D(2;2)$
a questo punto si vede che A , B e D non sono interni al vincolo e quindi non vanno considerati,
mi rimane il punto C. Come faccio a determinare se è di massimo o di minimo assoluto?
naturalmente ho trovato anche le equazioni delle rette formanti il triangolo, e sono
1) $ 0<=x<=2 ; y=x$
2) $ 0<=x<=2 ; y=-x$
3) $ x=2 ; -2<=y<=2$
Studiare massimi e minimi assoluti della funzione $f(x; y)$ =$(x^2 - y^2) (x-2)$
nel triangolo A di vertici O(0; 0), P (2; 2) e Q (2; 2).
parto col fare le derivate parziali rispetto a x e a y per metterle a sistema e cercare i punti stazionari:
$fx$ = $3x^2 -4x -y^2=0 $
$fy$ = $-2xy+4y=0 $
risolvendo il sistema trovo i punti :
$A( 0;0) B( 4/3;0) C(2;-2) D(2;2)$
a questo punto si vede che A , B e D non sono interni al vincolo e quindi non vanno considerati,
mi rimane il punto C. Come faccio a determinare se è di massimo o di minimo assoluto?
naturalmente ho trovato anche le equazioni delle rette formanti il triangolo, e sono
1) $ 0<=x<=2 ; y=x$
2) $ 0<=x<=2 ; y=-x$
3) $ x=2 ; -2<=y<=2$
Risposte
Potresti calcolare la matrice hessiana e vedere se ti da informazioni utili. In alternativa potresti cercare delle sezioni per vedere se non è niente oppure max/min.
Ovviamente devi poi andare a controllare sulla frontiera.
Ovviamente devi poi andare a controllare sulla frontiera.
ti riferisci all'hessiano orlato? sulla frontiera devo vedere solo i punti che ho trovato sulla frontiera e ai vertici giusto?
Per avere informazioni sul punto C devi calcolare il valore della funzione in questo punto (che sarà quindi $ f(2;-2) $). Ottenuto tale valore non puoi ancora sapere se è di massimo o minimo perchè non hai nessun altro valore con cui confrontarlo.
Questi altri valori sono da ricercare sul bordo del dominio. Di sicuro i vertici del dominio (punti O, P e Q) sono punti stazionari. Altri punti stazionari potrebbero trovarsi sul bordo, ovvero sui lati del triangolo, e sono i punti in cui il gradiente è perpendicolare al dominio.
Questo è sicuro ma non ho mai capito bene come controllare che il gradiente sia perpendicolare al dominio quindi se qualcuno vuole migliorare la mia risposta con questa spiegazione gliene sarò molto grato anche io.
Una volta che hai i valori di tutti questi punti stazionari, li confronti tra loro e il valore più basso sarà il minimo assoluto, mentre quello più alto sarà il massimo assoluto.
Questi altri valori sono da ricercare sul bordo del dominio. Di sicuro i vertici del dominio (punti O, P e Q) sono punti stazionari. Altri punti stazionari potrebbero trovarsi sul bordo, ovvero sui lati del triangolo, e sono i punti in cui il gradiente è perpendicolare al dominio.
Questo è sicuro ma non ho mai capito bene come controllare che il gradiente sia perpendicolare al dominio quindi se qualcuno vuole migliorare la mia risposta con questa spiegazione gliene sarò molto grato anche io.
Una volta che hai i valori di tutti questi punti stazionari, li confronti tra loro e il valore più basso sarà il minimo assoluto, mentre quello più alto sarà il massimo assoluto.
scusa mi sono sbagliato...era il punto B nel dominio...il valore della funzione nel punto B è $-32/27$.
ora come faccio a vedere se i vertici sono punti stazionari? e per il gradiente perpendicolare al dominio come devo procedere?
edit: i vertici sono punti stazionari...li ho trovati prima...calcolato il valore della funzione nei 3 punti il risultato è sempre 0. per quanto riguarda il gradiente perpendicolare invece? come posso fare?
ora come faccio a vedere se i vertici sono punti stazionari? e per il gradiente perpendicolare al dominio come devo procedere?
edit: i vertici sono punti stazionari...li ho trovati prima...calcolato il valore della funzione nei 3 punti il risultato è sempre 0. per quanto riguarda il gradiente perpendicolare invece? come posso fare?
I vertici sono SEMPRE stazionari proprio perchè sono vertici. La funzione che descrive il dominio, quindi il triangolo è spezzata nei vertici quindi non ammette derivate in quei punti.
Per il gradiente perpendicolare posso dirti che se hai delle rette orizzontali o verticali basta annullare una delle due componenti del gradiente. Se le rette invece sono oblique o peggio ancora curve non saprei proprio. Attendo insieme a te una risposta da chi ne sa qualcosa di più
Per il gradiente perpendicolare posso dirti che se hai delle rette orizzontali o verticali basta annullare una delle due componenti del gradiente. Se le rette invece sono oblique o peggio ancora curve non saprei proprio. Attendo insieme a te una risposta da chi ne sa qualcosa di più
se sono delle curve forse conviene utilizzare i moltiplicatori di Lagrange... e quindi non si pone il problema
se qualcuno puo' darmi una mano nella conclusione di questo esercizio gli sarei molto grato...sono disperato 
il punto Q è (2,-2)? dammi una conferma e ti rispondo subito
si si 
bene. quindi se segui i consigli di Thiezar arrivi facilmente alla conclusione.
nota però che anche il punto B allora è interno al dominio, quindi devi considerare tutti i punti che hai ricavato "annullando" il gradiente, tutti i punti di vertice e i punti stazionari sulle tre rette. confronta questi punti e otterrai delle risposte.
nota però che anche il punto B allora è interno al dominio, quindi devi considerare tutti i punti che hai ricavato "annullando" il gradiente, tutti i punti di vertice e i punti stazionari sulle tre rette. confronta questi punti e otterrai delle risposte.
scusa non ho capito...
il valore della funzione nel punto B l'ho calcolato ed è $-32/27$ .
nei 3 vertici il valore della funzione è 0.
Thiezar parlava di vedere se il gradiente era perpendicolare al dominio...che significa? come si fa?
il valore della funzione nel punto B l'ho calcolato ed è $-32/27$ .
nei 3 vertici il valore della funzione è 0.
Thiezar parlava di vedere se il gradiente era perpendicolare al dominio...che significa? come si fa?
raga qualcuno mi puo' aiutare in quest'ultimo passo?? grazie
Visto che sei in estrema difficoltà ti spiego bene come risolvere l'esercizio. Quella storia del gradiente perpendicolare al dominio è vera ma (almeno per me) difficile da verificare se il gradiente e il dominio non si presentano in forme semplici.
tenendo presente che abbiamo stabilito che il triangolo ha vertici $ O=(0,0) $ $ P=(2,2) $ $ Q=(2,-2) $, e che i punti in cui il gradiente si annulla sono
$ A=(0,0) $ $ B=(4/3,0) $ $ C=(2,2) $ $ D=(2,-2) $
possiamo subito notare che i punti A B e D corrispondono esattamente ai vertici del triangolo che come sappiamo sono sempre punti stazionari. Per la cronaca in questo caso la funzione $ f(x,y) $ in questi 3 punti vale 0.
Il punto B è interno al dominio (infatti $4/3<2$ quindi questo punto si trova praticamente al centro del triangolo) ela funzione nel punto B vale $ -32/27 $.
Altri punti critici sono da ricercare sulla frontiera del dominio.
Osserviamo bene la funzione: $ f(x,y)=(x^2-y^2)(x-2)$
- prendiamo in considerazione il lato del triangolo tra P e Q e notiamo che x vale sempre 2. Se x vale sempre 2 il fattore destro della funzione $ (x-2) $ diventa 0 annullando la funzione, quindi su tutto questo lato la funzione vale 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra P e O. Questo è un segmento inclinato di 45°. Per ottenere questa angolazione i valori di x e y devono essere sempre uguali quindi $y=x$. Se questi valori sono sempre uguali la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $ darà come risultato sempre 0 annullando tutta la funzione. Quindi anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra Q e O. Questo segmento è come quello di prima ma specchiato. Significa che in questo caso $ y=-x $. Ma anche in questo caso la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $darà come risultato sempre 0 a causa dell'elevazione al quadrato. Anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
Possiamo concludere che su tutta la frontiera compresi i vertici la funzione vale $ 0 $ mentre nel punto B vale $ -32/27 $. Beh, è facile vedere che questi due valori sono rispettivamente il MASSIMO e il MINIMO.
tenendo presente che abbiamo stabilito che il triangolo ha vertici $ O=(0,0) $ $ P=(2,2) $ $ Q=(2,-2) $, e che i punti in cui il gradiente si annulla sono
$ A=(0,0) $ $ B=(4/3,0) $ $ C=(2,2) $ $ D=(2,-2) $
possiamo subito notare che i punti A B e D corrispondono esattamente ai vertici del triangolo che come sappiamo sono sempre punti stazionari. Per la cronaca in questo caso la funzione $ f(x,y) $ in questi 3 punti vale 0.
Il punto B è interno al dominio (infatti $4/3<2$ quindi questo punto si trova praticamente al centro del triangolo) ela funzione nel punto B vale $ -32/27 $.
Altri punti critici sono da ricercare sulla frontiera del dominio.
Osserviamo bene la funzione: $ f(x,y)=(x^2-y^2)(x-2)$
- prendiamo in considerazione il lato del triangolo tra P e Q e notiamo che x vale sempre 2. Se x vale sempre 2 il fattore destro della funzione $ (x-2) $ diventa 0 annullando la funzione, quindi su tutto questo lato la funzione vale 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra P e O. Questo è un segmento inclinato di 45°. Per ottenere questa angolazione i valori di x e y devono essere sempre uguali quindi $y=x$. Se questi valori sono sempre uguali la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $ darà come risultato sempre 0 annullando tutta la funzione. Quindi anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra Q e O. Questo segmento è come quello di prima ma specchiato. Significa che in questo caso $ y=-x $. Ma anche in questo caso la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $darà come risultato sempre 0 a causa dell'elevazione al quadrato. Anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
Possiamo concludere che su tutta la frontiera compresi i vertici la funzione vale $ 0 $ mentre nel punto B vale $ -32/27 $. Beh, è facile vedere che questi due valori sono rispettivamente il MASSIMO e il MINIMO.
chiarissimo!!!! grazie mille 
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