Massimi e minimi assoluti
$f(x,y)=(x^2-3y)^2e^(-y)$
una volta determinati gli estremi relativi , bisogna detrminare gli estremi assosulti nella regione di piano del primo quadrante delimitata dagli assi cartesiani e dalla retta $x+y=1$
su come svolgere questo esercizio non avrei problemi se non che nello svolgere la derivate parziali prime mi ritrovo a risolvere un sistema di questa maniera
${(e^(-y)[4x(x^2-3y)]=0),(e^(-y)[-x^4+6x^2(y-1)-9(y-2)y]=0):}$
tale sistema come è risolvibile?
inoltre assoluti ho parametrizzato la retta $y=1-x$
${(x=t),(y=1-t):}$ $t=[0,1]$
andando poi a sostituire nella $f(x,y)=(t^2+3t-3)^2*(e^(t-1))$
dovrei fare la derivata ma mi viene un altro mostro...possibile sia cosi complicato?
una volta determinati gli estremi relativi , bisogna detrminare gli estremi assosulti nella regione di piano del primo quadrante delimitata dagli assi cartesiani e dalla retta $x+y=1$
su come svolgere questo esercizio non avrei problemi se non che nello svolgere la derivate parziali prime mi ritrovo a risolvere un sistema di questa maniera
${(e^(-y)[4x(x^2-3y)]=0),(e^(-y)[-x^4+6x^2(y-1)-9(y-2)y]=0):}$
tale sistema come è risolvibile?
inoltre assoluti ho parametrizzato la retta $y=1-x$
${(x=t),(y=1-t):}$ $t=[0,1]$
andando poi a sostituire nella $f(x,y)=(t^2+3t-3)^2*(e^(t-1))$
dovrei fare la derivata ma mi viene un altro mostro...possibile sia cosi complicato?
Risposte
Stai facendo calcoli inutili.
Perché?
Perché?
forse perchè la funzione esponenziale non si annulla mai e poi perchè il termine tra parentesi è al quadrato?
Già.
I minimi sai già dove stanno.
Per i massimi, io cercherei dove si annulla il gradiente o sulla frontiera, dove $e^(-y)$ e/o $|x^2 - 3y|$ sono più grandi.
I minimi sai già dove stanno.
Per i massimi, io cercherei dove si annulla il gradiente o sulla frontiera, dove $e^(-y)$ e/o $|x^2 - 3y|$ sono più grandi.
@Gugo Nella prima parte dell'esercizio temo che debba proprio dimostrare che esiste un massimo relativo in (0,2).
$f_(x x)(0,2)=-24/e^2$
$f_(yy)(0,2)=-18/e^2$
$f_(xy)(0,2)=0$
$f_(x x)(0,2)=-24/e^2$
$f_(yy)(0,2)=-18/e^2$
$f_(xy)(0,2)=0$
"Bokonon":
@Gugo Nella prima parte dell'esercizio temo che debba proprio dimostrare che esiste un massimo relativo in (0,2).
$f_(x x)(0,2)=-24/e^2$
$f_(yy)(0,2)=-18/e^2$
$f_(xy)(0,2)=0$
come hai fatto a trovarti il punto?
Ciao,
come già suggerito il minimo della funzione è 0.
Per quanto riguarda quel sistema di derivate, io le riscriverei in modo più gestibile
$ { ( 4xe^(-y)(x^2-3y)=0 ),( -e^(-y)(x^2-3y)(x^2-3y-6)=0 ):} $
A questo punto si tratta solo di risolvere equazioni ( al massimo ) di secondo grado.
Con le equazioni riscritte così diventa facilmente risolvibile con la parametrizzazione
$varphi(t) = (t,1-t)$
come già suggerito il minimo della funzione è 0.
Per quanto riguarda quel sistema di derivate, io le riscriverei in modo più gestibile
$ { ( 4xe^(-y)(x^2-3y)=0 ),( -e^(-y)(x^2-3y)(x^2-3y-6)=0 ):} $
A questo punto si tratta solo di risolvere equazioni ( al massimo ) di secondo grado.
Con le equazioni riscritte così diventa facilmente risolvibile con la parametrizzazione
$varphi(t) = (t,1-t)$
"Bokonon":
@Gugo Nella prima parte dell'esercizio temo che debba proprio dimostrare che esiste un massimo relativo in (0,2).
Fuori dal dominio?
"lepre561":
come hai fatto a trovarti il punto?
Riprendo ciò che ha scritto caffeinaplus ma correggo un segno (è un +6 nella seconda equazione)
$ { ( 4xe^(-y)(x^2-3y)=0 ),( -e^(-y)(x^2-3y)(x^2-3y+6)=0 ):} $
Siamo alle solite lepre...tu cerchi disperatamente un modo meccanico mentre tutti ti invitano a ragionare.
Primo consiglio, non distribuire i prodotti a meno che non sia necessario.
Guarda come caffeinaplus ha scritto il sistema...così è pulito e chiaro, sono tutti prodotti.
$e^(-y)$ non è mai zero, quindi lo possiamo toalmente ignorare.
La prima equazione si azzera solo per $x=0$ e $y=x^2/3$.
Quest'ultima annulla anche la seconda equazione ed è evidente anche dalla funzione stessa (basta guardarla per rendersi conto che è sempre positiva o al minimo zero) e quindi lungo tutta la parabola la $f(x,x^2/3)=0$ e sarà un "luogo" di minimi assoluti.
Quindi resta solo da sostituire $x=0$ nella seconda equazione e vedere cosa succede. In versione semplificata esce $y(y-2)=0$
$y=0$ appartiene alla parabola di cui sopra quindi (0,0) è sempre un minimo. Poi c'è $y=2$ quindi il punto (0,2) da analizzare.
Sappiamo per certo che non è un minimo (e non chiedermi di nuovo il perchè! Ne abbiamo già parlato in un altro thread), quindi può essere un massimo (relativo, dato che la funzione va a $+oo$) oppure una sella.
Per saperlo bisogna rimboccarsi le maniche e fare i conti (ed hai già anche i risultati dell'hessiana con cui confrontare i tuoi conti...perchè devi farli adesso, capito?!?).
Scoprirai che è un massimo relativo ma che si trova fuori dal vincolo, quindi nella seconda parte del problema non lo terrai in considerazione e seguirai i consigli di Gugo e troverai che i minimi stanno tutti nella porzione di parabola all'interno del vincolo e che il massimo assoluto sta in (0,1).
"gugo82":
Fuori dal dominio?
"lepre561":
una volta determinati gli estremi relativi
Bocciato!
@Bokonon: Da cosa evinci si tratti di estremi relativi liberi e non vincolati? 
"gugo82":
@Bokonon: Da cosa evinci si tratti di estremi relativi liberi e non vincolati?
Da come è formulata la frase e dal fatto che il 90% dei problemi chiedono prima di identificare i punti critici in generale.
Solo Lepre può confermare però
si dovrebbero essere liberi perchè la mia prof i vincoli ancora li deve affrontare...
Ah, quindi non sai ricercare gli estremi sulla frontiera… Eppure mi pare che tu i conti li abbia fatti.
P.S.: Tanto per curiosità: ma dove studi Ingegneria?
P.S.: Tanto per curiosità: ma dove studi Ingegneria?
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