Massimi e minimi assoluti
Buongiorno ragazzi, avrei bisogno del vostro aiuto su questo esercizio...
Calcolare il minimo ed il massimo assoluto della funzione:
$f(x,y)= 1/4x^4 + y^2+xy$
nell'insieme $Q={(x,y) in RR^2 : -1<=x<=0 , 0<=y<=1}$
-Ho determinato le derivate parziali e ho trovato l'esistenza di 3 punti:
$(0,0)$ punto a sella, $(1/(sqrt(2)), -1/(2(sqrt(2))))$ min relativo e infine $ (-1/(sqrt(2)), 1/(2(sqrt(2)))) $min relativo.
Il mio problema giunge ora, nel calcolare i max e min assoluti, in quanto ho capito di dover usare la restrinzione, perchè è un quadrato ma non so come proseguire... Grazie in anticipo.
Calcolare il minimo ed il massimo assoluto della funzione:
$f(x,y)= 1/4x^4 + y^2+xy$
nell'insieme $Q={(x,y) in RR^2 : -1<=x<=0 , 0<=y<=1}$
-Ho determinato le derivate parziali e ho trovato l'esistenza di 3 punti:
$(0,0)$ punto a sella, $(1/(sqrt(2)), -1/(2(sqrt(2))))$ min relativo e infine $ (-1/(sqrt(2)), 1/(2(sqrt(2)))) $min relativo.
Il mio problema giunge ora, nel calcolare i max e min assoluti, in quanto ho capito di dover usare la restrinzione, perchè è un quadrato ma non so come proseguire... Grazie in anticipo.
Risposte
Prima di tutto guardi quali dei punti critici che hai trovata è interno al quadrato...
Come noterai solo il terzo è interno, quindi il terzo punto è minimo relativo anche per la funzione ristretta su $Q$.
A questo punto parametrizzi la funzione in modo tale da avere una funzione (di una variabile) che si muova lungo i bordi.
Visto che è un quadrato dovrai fare $4$ parametrizzazioni.
A questo punto studi i massimi e i minimi di queste funzioni di una variabile, scoprendo quindi se ci sono punti sul perimetro del quadrato che sono massimi o minimi.
Ti faccio un esempio con la parametrizzazione del lato orizzontale superiore.
il lato superiore è descritto come la funzione costante $y=1$ quindi studio la funzione di una variabile
$$
g(x)=f(x,1)=\frac{x^4}{4}+1+x
$$
la derivata di $g$ è
$$
g'(x)=x^3+1
$$
scoprendo così che la funzione è crescente per $x> -1$ (ovvero lungo tutta la lunghezza del lato) quindi lungo il lato non ci sono punti critici, al massimo saranno da tenere d'occhio gli spigoli...
Bene ti ho dato un indizio, ora continua tu se non ci riesci o non ti è chiaro chiedi ancora
Come noterai solo il terzo è interno, quindi il terzo punto è minimo relativo anche per la funzione ristretta su $Q$.
A questo punto parametrizzi la funzione in modo tale da avere una funzione (di una variabile) che si muova lungo i bordi.
Visto che è un quadrato dovrai fare $4$ parametrizzazioni.
A questo punto studi i massimi e i minimi di queste funzioni di una variabile, scoprendo quindi se ci sono punti sul perimetro del quadrato che sono massimi o minimi.
Ti faccio un esempio con la parametrizzazione del lato orizzontale superiore.
il lato superiore è descritto come la funzione costante $y=1$ quindi studio la funzione di una variabile
$$
g(x)=f(x,1)=\frac{x^4}{4}+1+x
$$
la derivata di $g$ è
$$
g'(x)=x^3+1
$$
scoprendo così che la funzione è crescente per $x> -1$ (ovvero lungo tutta la lunghezza del lato) quindi lungo il lato non ci sono punti critici, al massimo saranno da tenere d'occhio gli spigoli...
Bene ti ho dato un indizio, ora continua tu se non ci riesci o non ti è chiaro chiedi ancora
Vi ringrazio, molto gentili! Avrei qualche domanda...Essendo il terzo punto interno al quadrato, solo quello sarà candidato ad essere un minimo assoluto? per le altre 3 parametrizzazioni devo agire come hai fatto tu l'esempio: nel senso che devo sostituire e infine derivare? Infine, come capisco che ci sono o non ci sono punti critici su quel lato?
Allora il minimo relativo interno, non è a priori l'unico candidato a minimo assoluto. Se il tuo obbiettivo è solo scovare i minimi e massimi ASSOLUTI, a te basta trovare altri candidati minimi sulle parametrizzazioni (o ai confini delle parametrizzazioni), allora ti basta confrontare i valori della funzione fra i vari candidati minimi e vedere chi è il più piccolo (se stessi cercando i minimi relatavi allora sarebbe più articolata la faccenda).
Si bene o male in generale il procedimento è quello, parametrizzare e derivare, poi a volte i minimi e i massimi si vedono "a occhio".
Internamente al lato no non ci sono punti critici perché la funzione parametrizzata è sempre crescente lungo il lato.
Questo significa che rimangono da valutare gli estremi del lato, per capire se sono candidati minimi o massimi o no.
Se la restrizione della funzione non fosse un quadrato chiuso, ma fosse semplicemente il lato $Q={ x,y : -1\le x \le 0 \wedge y=1}$ allora chiaramente l'estremo sinistro (il punto $(-1,1)$) sarebbe minimo assoluto, mentre l'estremo destro $(0,1)$ sarebbe massimo assoluto, quindi in un certo senso, per ora questi punti sono candidati minimi e massimi per la tua parametrizzazione, poi studiando le altre parametrizzazioni capirai chi è un candidato "vero" e chi un candidato "finto".
Si bene o male in generale il procedimento è quello, parametrizzare e derivare, poi a volte i minimi e i massimi si vedono "a occhio".
Internamente al lato no non ci sono punti critici perché la funzione parametrizzata è sempre crescente lungo il lato.
Questo significa che rimangono da valutare gli estremi del lato, per capire se sono candidati minimi o massimi o no.
Se la restrizione della funzione non fosse un quadrato chiuso, ma fosse semplicemente il lato $Q={ x,y : -1\le x \le 0 \wedge y=1}$ allora chiaramente l'estremo sinistro (il punto $(-1,1)$) sarebbe minimo assoluto, mentre l'estremo destro $(0,1)$ sarebbe massimo assoluto, quindi in un certo senso, per ora questi punti sono candidati minimi e massimi per la tua parametrizzazione, poi studiando le altre parametrizzazioni capirai chi è un candidato "vero" e chi un candidato "finto".
Ho provato e riprovato per come mi hai indicato tu Bossmer e anche seguendo l'esempio di Tem ma non viene... Su wolfram risulta che questa funzione presenta 2 minimi assoluti... in $(-1\/sqrt(2), 1\/(2 sqrt(2)))$ e $ (1\/sqrt(2), -1\/(2 sqrt(2))) $ . Mentre a me vengono in $(0,0)=0 , (-1,1) =1 , (-1,1/2)=0 , (-1,0)=1/4 (0,1)=1 $
Non capisco come venirne a capo...
Non capisco come venirne a capo...
Ma rifletti un secondo...
allora, hai che il punto $(-\frac{1}{\sqrt{2}} , \frac{1}{2\sqrt{2}})$ è l'unico punto di minimo relativo interno a $Q$, quello che c'è fuori da $Q$ non te ne deve fregare niente.
Adesso la funzione valutata in questo punto fa:
$$
f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} , \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{16}
$$
e ce lo teniamo da parte, studiando la funzione sui bordi, scopri che i punti $(-1,\frac{1}{2})$, $(0,0)$ sono gli unici candidati minimi. mentre i punti $(-1,0)$ e $(0,1)$ sono gli unici candidati massimi.
Adesso guardiamo i valori.
$$
f\left(-1,\frac{1}{2}\right)=0
\\
f(0,0)=0
$$
e quindi questi non possono essere minimi assoluti!! perché $f(-\frac{1}{\sqrt{2}} , \frac{1}{2\sqrt{2}})=-\frac{1}{16}$ è più piccolo di zero!
per i candidati massimi abbiamo che
$$
f(-1,0)=\frac{1}{4}
\\
f(0,1)=1
$$
Quindi chiaramente i punto di massimo assoluto sarà $(0,1)$
allora, hai che il punto $(-\frac{1}{\sqrt{2}} , \frac{1}{2\sqrt{2}})$ è l'unico punto di minimo relativo interno a $Q$, quello che c'è fuori da $Q$ non te ne deve fregare niente.
Adesso la funzione valutata in questo punto fa:
$$
f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} , \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{16}
$$
e ce lo teniamo da parte, studiando la funzione sui bordi, scopri che i punti $(-1,\frac{1}{2})$, $(0,0)$ sono gli unici candidati minimi. mentre i punti $(-1,0)$ e $(0,1)$ sono gli unici candidati massimi.
Adesso guardiamo i valori.
$$
f\left(-1,\frac{1}{2}\right)=0
\\
f(0,0)=0
$$
e quindi questi non possono essere minimi assoluti!! perché $f(-\frac{1}{\sqrt{2}} , \frac{1}{2\sqrt{2}})=-\frac{1}{16}$ è più piccolo di zero!
per i candidati massimi abbiamo che
$$
f(-1,0)=\frac{1}{4}
\\
f(0,1)=1
$$
Quindi chiaramente i punto di massimo assoluto sarà $(0,1)$
Ti ringrazio!
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