Massimi e minimi
salve a tutti, ho un dubbio riguardo i punti in cui l'Hessiano è nullo. il mio professore ci fa fare uno studio locale quando abbiamo che l'hessiano si annulla, tuttavia volevo chiedervi se c'è un procedimento standard da eseguire.
per esempio data questa funzione:
$ log(x^2y^2+2) $ in $ A=[x^2/4+y^2 <= 1] $
calcolare i massimi e minimi assoluti.
inizio calcolando i punti critici che mi vengono del tipo $ (0,y),(x,0) $ e quando faccio l'hessiano mi viene zero. il procedimento del mio prof mi dice di sostituire alla funzione questi punti, la quale mi viene:
$ log(y^4+2),log(x^4+2) $ e ora dovrei guardare in un intorno di questi punti per verificare il segno della funzione. é giusto fin qui?
per esempio data questa funzione:
$ log(x^2y^2+2) $ in $ A=[x^2/4+y^2 <= 1] $
calcolare i massimi e minimi assoluti.
inizio calcolando i punti critici che mi vengono del tipo $ (0,y),(x,0) $ e quando faccio l'hessiano mi viene zero. il procedimento del mio prof mi dice di sostituire alla funzione questi punti, la quale mi viene:
$ log(y^4+2),log(x^4+2) $ e ora dovrei guardare in un intorno di questi punti per verificare il segno della funzione. é giusto fin qui?
Risposte
Se sostituisci $(x,0)$ o $(0,y)$ alla funzione, viene $f(x,0)=f(0,y)=\log 2<0$. Ora, se consideri che l'argomento è tale che $x^2 y^2+2\ge 2$...
si scusa, ho sbagliato!
l'argomento è positivo, la funzione è negativa. ora dovrei vedere la funzione cosa fa in un intorno di quel punto. studio il segno della funzione così da regolarmi se il punto è un max un min o nessuno dei due.giusto?
$ f(x,y) >= 0-> log(x^2y^2+2) >= 0;-> x^2y^2+2 >= 1;-> x^2y^2+1 >= 0 $
dunque la funzione è sempre positiva, ma nel punto è negativa dunque è i punti sono due minimi?
l'argomento è positivo, la funzione è negativa. ora dovrei vedere la funzione cosa fa in un intorno di quel punto. studio il segno della funzione così da regolarmi se il punto è un max un min o nessuno dei due.giusto?
$ f(x,y) >= 0-> log(x^2y^2+2) >= 0;-> x^2y^2+2 >= 1;-> x^2y^2+1 >= 0 $
dunque la funzione è sempre positiva, ma nel punto è negativa dunque è i punti sono due minimi?
Guarda che ti ho già detto cosa fare: ragiona su quell'ultima disuguaglianza scritta...
si guarda cosa ho scritto
Non va bene: quello che puoi dire è che $\log(x^2 y^2+2)\ge \log 2$ per ogni coppia di valori $(x,y)\in RR^2$ e quindi la funzione assume valore minimo su tutti i punti della forma $(0,y),\ (x,0)$. Da questo cosa puoi dedurre?
perchè non va bene?io sto studiando il segno della funzione! $ log(2) < 0 $ quindi cosa cambia ai fini dell'esercizio?l'argomento è sempre maggiore di 1, la funzione dunque è sempre positiva, ergo è sempre maggiore di $ log(2) < 0 $ .
Sì, ma come l'avevi detto prima non aveva molto senso perché non lo ricollegavi ai punti da te selezionati.
quindi in definitiva è giusto il procedimento?
comunque risolto questo dubbio l'esercizio continua dicendo di trovare max e min assoluti nell'insieme A, dunque:
1-analizzo i punti critici (già fatto)
2-punti di non derivabilità (insieme vuoto poichè le derivate parziali sono di classe infinito)
3-frontiera dell'insieme
per eseguire l'ultimo punto mi sorge un dubbio su come procedere.
io inizio parametrizzando l'insieme (che è un'ellisse) e restringendo la funzione all'insieme,cioè:
$ { ( x=2cost ),( y=sint ):} $ $ t in [0,2pi] $
$ f(x,y) $ ristretta diventa $ log(4cos^2tsin^2t+2)=log(sin^2(2t)+2) $
ora dunque devo calcolare i max e i min di questa nuova funzione in una variabile e poi sostituire le coordinate dei punti trovati alla f?
1-analizzo i punti critici (già fatto)
2-punti di non derivabilità (insieme vuoto poichè le derivate parziali sono di classe infinito)
3-frontiera dell'insieme
per eseguire l'ultimo punto mi sorge un dubbio su come procedere.
io inizio parametrizzando l'insieme (che è un'ellisse) e restringendo la funzione all'insieme,cioè:
$ { ( x=2cost ),( y=sint ):} $ $ t in [0,2pi] $
$ f(x,y) $ ristretta diventa $ log(4cos^2tsin^2t+2)=log(sin^2(2t)+2) $
ora dunque devo calcolare i max e i min di questa nuova funzione in una variabile e poi sostituire le coordinate dei punti trovati alla f?
qualcuno disposto ad aiutarmi?
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