Massimi e minimi
Devo trovare massimi e minimi di [tex]f(x,y)=x^2+y^2+2[/tex] condizionati al vincolo [tex]g(x,y)=x^2-2xy+y^2[/tex].
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Decido di usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange,[tex]L=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/tex], quindi imposto il sistema con le derivate parziali rispetto ad x, y e [tex]\lambda[/tex].
[tex]2x+2 \lambda x -2 \lambda y[/tex]
[tex]2x+2 \lambda y -2 \lambda x[/tex]
[tex]x^2-2xy+y^2[/tex]
giusto? A questo punto risolvendo il sistema dovrebbero venire fuori 3 punti che sono i punti critici della funzione, ma il sistema a me torna con dei valori mega strani...probabilmente ho sbagliato le derivate parziali, ma non trovo l'errore...
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Decido di usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange,[tex]L=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/tex], quindi imposto il sistema con le derivate parziali rispetto ad x, y e [tex]\lambda[/tex].
[tex]2x+2 \lambda x -2 \lambda y[/tex]
[tex]2x+2 \lambda y -2 \lambda x[/tex]
[tex]x^2-2xy+y^2[/tex]
giusto? A questo punto risolvendo il sistema dovrebbero venire fuori 3 punti che sono i punti critici della funzione, ma il sistema a me torna con dei valori mega strani...probabilmente ho sbagliato le derivate parziali, ma non trovo l'errore...
Risposte
Effettivamente le equazioni sono
[tex]$2x+2\lambda x-2\lambda y=0,\qquad 2y-2\lambda x+2\lambda y=0,\qquad x^2-2xy+y^2=0$[/tex]
[tex]$2x+2\lambda x-2\lambda y=0,\qquad 2y-2\lambda x+2\lambda y=0,\qquad x^2-2xy+y^2=0$[/tex]
Il vincolo avrà un'equazione del tipo [tex]$g(x,y)=\text{qualcosa}$[/tex]... Perchè non scrivi chi è quel [tex]$\text{qualcosa}$[/tex]?
Ricordatevi di riportare sempre correttamente i testi degli esercizi che proponete (cfr. avviso).
Ricordatevi di riportare sempre correttamente i testi degli esercizi che proponete (cfr. avviso).
"gugo82":
Il vincolo avrà un'equazione del tipo [tex]$g(x,y)=\text{qualcosa}$[/tex]... Perchè non scrivi chi è quel [tex]$\text{qualcosa}$[/tex]?
Ricordatevi di riportare sempre correttamente i testi degli esercizi che proponete (cfr. avviso).
guarda che ho scritto chi è il vincolo, è [tex]g(x,y)=x^2-2xy+y^2[/tex]
ciampax:
Effettivamente le equazioni sono
[tex]$2x+2\lambda x-2\lambda y=0,\qquad 2y-2\lambda x+2\lambda y=0,\qquad x^2-2xy+y^2=0$[/tex]
se sono questi i valori, allora a voi come vi tornano i valori?
"dennis87":
[quote="gugo82"]Il vincolo avrà un'equazione del tipo [tex]$g(x,y)=\text{qualcosa}$[/tex]... Perchè non scrivi chi è quel [tex]$\text{qualcosa}$[/tex]?
Ricordatevi di riportare sempre correttamente i testi degli esercizi che proponete (cfr. avviso).
guarda che ho scritto chi è il vincolo, è [tex]g(x,y)=x^2-2xy+y^2[/tex][/quote]
Ma perchè rispondi senza aver letto?
Secondo te, quindi, il vincolo è una funzione e non una curva descritta in forma implicita da un'equazione?
Ti pare una cosa sensata?
Rinnovo il consiglio che ti ho già dato ieri sera: leggi la teoria con attenzione.
scusami ma non ti capisco, vuoi che ti esplicito il vincolo?
[tex]y=\sqrt{-x^2+2xy}[/tex], è questo che vuoi?
[tex]y=\sqrt{-x^2+2xy}[/tex], è questo che vuoi?
Scusa dennis87, ma sai cosa stai facendo? Oppure esegui meccanicamente dei conti?
Che cos'è un vincolo, secondo te?
Che cos'è un vincolo, secondo te?
mi puoi illuminare te per favore?
il vincolo è l'insieme su cui va ricercato il massimo o minimo della funzione...
"dennis87":
il vincolo è l'insieme su cui va ricercato il massimo o minimo della funzione...
Eh... E di solito come si assegna tale insieme?
è possibile che il sistema mi torna [tex]x=0[/tex] [tex]y=0[/tex] e [tex]\lambda=0[/tex]??? e quindi la matrice hessiana mi viene [tex]-8x^2-8x[/tex]???
"gugo82":
[quote="dennis87"]il vincolo è l'insieme su cui va ricercato il massimo o minimo della funzione...
Eh... E di solito come si assegna tale insieme?[/quote]
Se non sai rispondere, cerca un esempio sul libro.
purtroppo non ho esempi sul libro, mi sono trovato online il metodo di risoluzione di tali esercizi...ma mi ha creato problemi questo...
"dennis87":
Devo trovare massimi e minimi di [tex]f(x,y)=x^2+y^2+2[/tex] condizionati al vincolo [tex]g(x,y)=x^2-2xy+y^2[/tex].
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Decido di usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange,[tex]L=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/tex], quindi imposto il sistema con le derivate parziali rispetto ad x, y e [tex]\lambda[/tex].
[tex]2x+2 \lambda x -2 \lambda y[/tex]
[tex]2x+2 \lambda y -2 \lambda x[/tex]
[tex]x^2-2xy+y^2[/tex]
giusto? A questo punto risolvendo il sistema dovrebbero venire fuori 3 punti che sono i punti critici della funzione, ma il sistema a me torna con dei valori mega strani...probabilmente ho sbagliato le derivate parziali, ma non trovo l'errore...
Sembra che ci sia una voragine che non riesci a vedere. Prima che ti inghiotta (mentre sei inseguito da gugo82 col forcone), vediamo se noti la differenza tra quello che avevi scritto tu e che ho riportato qui sopra e invece quello che scrivo qui sotto
Devo trovare massimi e minimi di [tex]f(x,y)=x^2+y^2+2[/tex] condizionati al vincolo [tex]g(x,y)=x^2-2xy+y^2=0[/tex].
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Decido di usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange,[tex]L=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/tex], quindi imposto il sistema con le derivate parziali rispetto ad x, y e [tex]\lambda[/tex].
[tex]2x+2 \lambda x -2 \lambda y=0[/tex]
[tex]2x+2 \lambda y -2 \lambda x=0[/tex]
[tex]x^2-2xy+y^2=0[/tex]
giusto? A questo punto risolvendo il sistema dovrebbero venire fuori 3 punti che sono i punti critici della funzione, ma il sistema a me torna con dei valori mega strani...probabilmente ho sbagliato le derivate parziali, ma non trovo l'errore...
hai posto il vincolo =0 e il sistema con le derivate parziali =0, che fra l'altro mi sono anche accorto di avere sbagliato a scriverle. il sistema è:
[tex]\left\{\begin{matrix}
2x + 2 \lambda x - 2\lambda y = 0 & & & & \\
2y + 2 \lambda y - 2 \lambda x = 0& & & & \\
x^2 - 2xy + y^2 = 0 & & & &
\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}
2x + 2 \lambda x - 2\lambda y = 0 & & & & \\
2y + 2 \lambda y - 2 \lambda x = 0& & & & \\
x^2 - 2xy + y^2 = 0 & & & &
\end{matrix}\right.[/tex]
E allora qual è il vincolo?
ma in che senso quale è il vincolo, è questo [tex]x^2-2xy+y^2[/tex] no?
"dennis87":
ma in che senso quale è il vincolo, è questo [tex]x^2-2xy+y^2[/tex] no?
C'è un evidente e importante aspetto terminologico da chiarire.
In questo contesto, per "vincolo" normalmente si intende un sottoinsieme di $RR^2$. Chiamiamolo $E$ per comodità.
Il quale spesso è descritto così: $E = { (x,y) \in RR^2 : g(x,y) = 0 }$ (ma potrebbe essere anche individuato invece così: $E = { (x,y) \in RR^2 : g(x,y) \le 0 }$, o anche ovviamente come: $E = { (x,y) \in RR^2 : g(x,y) \ge 0 }$).
In particolare, nel caso che ci interessa, cioè quando $E = { (x,y) \in RR^2 : g(x,y) = 0 }$, è lecito dire che il vincolo è individuato da $g$, ma non è lecito dire che il vincolo è $g$.
Spero che la questione ora sia un po' più chiara.
Quindi, è sbagliato dire che il vincolo è $x^2-2xy+y^2$. Il vincolo è l'insieme dei punti per cui $x^2-2xy+y^2=0$. Di solito non si sta troppo a sottilizzare e si accetta anche l'affermazione: "il vincolo è $x^2-2xy+y^2=0$". Ma NON si può dire "il vincolo è $x^2-2xy+y^2$". Puoi dire che il vincolo è individuato (o descritto) da $x^2-2xy+y^2$, se sei in un contesto in cui è ovvio che ti interessa la condizione $x^2-2xy+y^2=0$ (e non, ad esempio, una disuguaglianza tipo $x^2-2xy+y^2 \le 0$).
ok, quindi nel mio caso il mio vincolo alla funzione è definito come [tex]{(x,y) \in R^2 | x^2-2xy+y^2=0}[/tex]
"dennis87":
ok, quindi nel mio caso il mio vincolo alla funzione è definito come [tex]\{ (x,y) \in R^2 \ | \ x^2-2xy+y^2=0 \}[/tex]
esatto
O puoi anche dire, con abuso di linguaggio tollerato, che è [tex]x^2-2xy+y^2=0[/tex]
Perché si sottintende che tu voglia riferirti al vincolo inteso come l'insieme dei punti di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] che soddisfano l'equazione.
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