Massimi e minimi
La funzione $f=|x^2-3|$ possiede su $R$:
a) un solo minimo e un solo massimo
b) un minimo assoluto e nessun massimo
c) due minimi assoluti e un massimo relativo
d) nessun punto di ottimo
Per risolvere faccio la derivata e la pongo uguale a zero e ciò che trovo è il massimo o il minimo?
Grazie dell'aiuto!
Ciao.
a) un solo minimo e un solo massimo
b) un minimo assoluto e nessun massimo
c) due minimi assoluti e un massimo relativo
d) nessun punto di ottimo
Per risolvere faccio la derivata e la pongo uguale a zero e ciò che trovo è il massimo o il minimo?
Grazie dell'aiuto!
Ciao.
Risposte
Beh, almeno cerca di visualizzare. La tua funzione è una parabola (la più normale che c'è, $x^2$) spostata di 3 unità in basso e poi ribaltata per quanto riguarda la parte negativa. A te le conclusioni...
come dice giustamente elgiovo non hai bisogno di calcolare la derivata per rispondere al quesito, in questo come in tanti altri problemi analoghi la cosa fondamentale è visualizzare la funzione, magari traccia un grafico...
andando per passi disegna la parabola $y=x^2-3$, che avrà vertice sull'asse delle $y$ nel punto $(0,-3)$ e poi ridisegna simmetricamente rispetto all'asse delle $x$ la parte compresa fra le due intersezioni con detto asse..
andando per passi disegna la parabola $y=x^2-3$, che avrà vertice sull'asse delle $y$ nel punto $(0,-3)$ e poi ridisegna simmetricamente rispetto all'asse delle $x$ la parte compresa fra le due intersezioni con detto asse..
Quindi la soluzione è c??
Ho le idee poco chiare per quanto riguarda l'individuazione dei punti critici, dei punti singolari, e degli estremi del dominio. Cioè come faccio alla fine a stabilire chi é il massimo e chi il minimo?
Ho le idee poco chiare per quanto riguarda l'individuazione dei punti critici, dei punti singolari, e degli estremi del dominio. Cioè come faccio alla fine a stabilire chi é il massimo e chi il minimo?
Lo dice la parola stessa: se $x_0$ è di massimo (minimo) relativo per $f(x)$ c'è un intorno di $x_0$ tale che $f(x)<=f(x_0)$ ($>=f(x_0)$).
Se $x_0$ è di massimo (minimo) assoluto per $f(x)$, allora $f(x_0)>=f(x)$ ($<=f(x)$) $forall x in D$, dove $D$ è il dominio della funzione.
Nel tuo caso i due punti di minimo assoluto sono le due cuspidi che si hanno laddove $f(x)$ si annulla - cuspidi dovute al ribaltamento - e un massimo relativo, il "vertice" della tua parabola "segata" (che, senza modulo, sarebbe stato il vertice della parabola $x^2-3$, nonchè suo minimo assoluto).
Se $x_0$ è di massimo (minimo) assoluto per $f(x)$, allora $f(x_0)>=f(x)$ ($<=f(x)$) $forall x in D$, dove $D$ è il dominio della funzione.
Nel tuo caso i due punti di minimo assoluto sono le due cuspidi che si hanno laddove $f(x)$ si annulla - cuspidi dovute al ribaltamento - e un massimo relativo, il "vertice" della tua parabola "segata" (che, senza modulo, sarebbe stato il vertice della parabola $x^2-3$, nonchè suo minimo assoluto).
Per quanto riguarda la derivata, hai che questa si annulla nei punti di massimo e minimo, ma la derivata va davvero presa con le pinze, per due motivi:
1) laddove la derivata è nulla non è detto che il punto sia di massimo o minimo, perchè vi potrebbe essere un flesso orizzontale, vedi $f(x)=x^3$;
2) i punti di massimo e di minimo possono esistere anche laddove la derivata non si annulla, vedi $f(x)=|x|$, oppure la tua stessa funzione, $f(x)=|x^2-3|$. Infatti nel tuo caso studiando la derivata prima non avresti rilevato i due punti di minimo, perchè in essi $f(x)$ non è derivabile (sono cuspidi).
1) laddove la derivata è nulla non è detto che il punto sia di massimo o minimo, perchè vi potrebbe essere un flesso orizzontale, vedi $f(x)=x^3$;
2) i punti di massimo e di minimo possono esistere anche laddove la derivata non si annulla, vedi $f(x)=|x|$, oppure la tua stessa funzione, $f(x)=|x^2-3|$. Infatti nel tuo caso studiando la derivata prima non avresti rilevato i due punti di minimo, perchè in essi $f(x)$ non è derivabile (sono cuspidi).
@elgiovo
scusa, solo una precisazione: quelle che si ottengono non sono "cuspdi" (lim del rapporto incrementale infinito, ma di segno diverso da dx e da sx) ma "punti angolosi" (c'è lim del rapporto incrementale finito, ma diverso da dx e da sx; detto altrimenti, derivata dx e sx esistono ma sono diverse)
scusa, solo una precisazione: quelle che si ottengono non sono "cuspdi" (lim del rapporto incrementale infinito, ma di segno diverso da dx e da sx) ma "punti angolosi" (c'è lim del rapporto incrementale finito, ma diverso da dx e da sx; detto altrimenti, derivata dx e sx esistono ma sono diverse)
Ok, grazie della precisazione.
Però perchè il massimo è relativo e i due minimi assoluti? Non mi è chiara la differenza tra le due cose.
Quand'è che un massimo (minimo) è assoluto e quando relativo e come faccio a distinguere le due caratteristiche??
Grazie, Ciao!
Quand'è che un massimo (minimo) è assoluto e quando relativo e come faccio a distinguere le due caratteristiche??
Grazie, Ciao!
La definizione te l'ho già data. Comunque il massimo (minimo) è assoluto se la funzione è sempre minore (maggiore) di tale massimo (minimo). Il massimo (minimo) è relativo se la funzione è minore (maggiore) di tale massimo, ma solo in un certo intorno di tale punto.
Un esempio molto pratico: il Monte Bianco è un massimo relativo per il pianeta Terra: esiste un intorno (in questo caso l'Europa) tale che la Terra sia sotto di lui, ma non è un massimo assoluto. Il massimo assoluto della Terra è, come ben sai, il monte Everest.
Per gli analisti: non mi insultate dopo questa analogia...
Un esempio molto pratico: il Monte Bianco è un massimo relativo per il pianeta Terra: esiste un intorno (in questo caso l'Europa) tale che la Terra sia sotto di lui, ma non è un massimo assoluto. Il massimo assoluto della Terra è, come ben sai, il monte Everest.
Per gli analisti: non mi insultate dopo questa analogia...
Però nel caso pratico riguardante quella $f(x)$ precedente come faccio a stabilire che il massimo è un massimo relativo??
Grazie ancora, ciao.
Grazie ancora, ciao.
studiando i limiti della funzione, vedi che al tendere di $x$ a $+oo$ e $-oo$ la funzione va a $+oo$ quindi non esiste un massimo assoluto, ovvero un valore al di sotto del quale la funzione sta sempre..
Evidentemente è un massimo locale perchè al di fuori dell'intervallo $[-sqrt(3);sqrt(3)]$ la funzione è strettamente crescente e quindi ha massimo all'infinito....
"elgiovo":
Un esempio molto pratico: il Monte Bianco è un massimo relativo per il pianeta Terra: esiste un intorno (in questo caso l'Europa) tale che la Terra sia sotto di lui, ma non è un massimo assoluto. Il massimo assoluto della Terra è, come ben sai, il monte Everest.
Per gli analisti: non mi insultate dopo questa analogia...
buona analogia, direi
tra l'altro, rende anche bene conto del fatto che un intorno non deve essere necessariamente troppo piccolo
Grazie Fioravante... 
A questo punto inizio a chiedermi se la funzione Terra sia G-integrabile...
A questo punto inizio a chiedermi se la funzione Terra sia G-integrabile...
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