Massimi e minimi 3 variabili
Ciao,
Esercizio preso da compito analisi 1 sapienza ( sempre senza soluzioni )
$ f(x,y,z)=(8z^3-6z-y^2)x^2+x^3 $
Calcolo il gradiente e mi viene
$ { ( 16z^3x-12zx-2y^2x+3x^2=0),( -yx^2=0 ),( 24z^2x^2-6x^2=0):} $
e da qui mi risulta che gli unici punti che annullano il gradiente sono i punti appartenenti al piano
$ (0,y,z) $
da qui costruendomi la matrice hessiana e sostituendo il piano mi viene
$ ( ( 16z^2-12z-2y^2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
La mia domanda è ho fatto giusto ?
se si è giusto che dopo cerco i punti per la quale la $ 16z^2-12z-2y^2 $ è =0, positivo e negativo e poi faccio considerazioni.
In oltre non capisco definito positivo o negativo esattamente cosa voglia dire, praticamente, se li avessi solo il valore positivo e gli altri 0 allora viene visto come hessiano definito positivo?.
Scusate la domanda lunga ma il prof non mi ha fatto capire niente e su internet vedo solo cose che mi confondono.
Grazie mille.
Esercizio preso da compito analisi 1 sapienza ( sempre senza soluzioni )
$ f(x,y,z)=(8z^3-6z-y^2)x^2+x^3 $
Calcolo il gradiente e mi viene
$ { ( 16z^3x-12zx-2y^2x+3x^2=0),( -yx^2=0 ),( 24z^2x^2-6x^2=0):} $
e da qui mi risulta che gli unici punti che annullano il gradiente sono i punti appartenenti al piano
$ (0,y,z) $
da qui costruendomi la matrice hessiana e sostituendo il piano mi viene
$ ( ( 16z^2-12z-2y^2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
La mia domanda è ho fatto giusto ?
se si è giusto che dopo cerco i punti per la quale la $ 16z^2-12z-2y^2 $ è =0, positivo e negativo e poi faccio considerazioni.
In oltre non capisco definito positivo o negativo esattamente cosa voglia dire, praticamente, se li avessi solo il valore positivo e gli altri 0 allora viene visto come hessiano definito positivo?.
Scusate la domanda lunga ma il prof non mi ha fatto capire niente e su internet vedo solo cose che mi confondono.
Grazie mille.
Risposte
Non ho fatto esplicitamente i conti, ma guardando il tuo sistema mi sembra ci siano altri punti critici per \(y=0\), con \(x\neq 0\).
Nel caso da te trattato (\(x=y=0\)) la matrice hessiana è solo semidefinita (ha due autovalori nulli), quindi non è utile per la classificazione di punti.
In questi casi è opportuno ragionare studiando direttamente l'incremento della funzione.
Nel caso da te trattato (\(x=y=0\)) la matrice hessiana è solo semidefinita (ha due autovalori nulli), quindi non è utile per la classificazione di punti.
In questi casi è opportuno ragionare studiando direttamente l'incremento della funzione.
Grazie rigel, comunque come mai anche y=0? non ho ben capito ce se metto y=0 il gradiente non si annulla mi sembra. Forse mi sono perso qualcosa.
a quindi come dovrei studiare l'incremento della funzione ?
a quindi come dovrei studiare l'incremento della funzione ?
"IngMarcon":
Grazie rigel, comunque come mai anche y=0? non ho ben capito ce se metto y=0 il gradiente non si annulla mi sembra.
Se \(x = 0\) le tre equazioni sono soddisfatte.
Consideriamo ora \(x\neq 0\). La seconda equazione è soddisfatta solo se \(y=0\). Le altre due forniscono
\[
\begin{cases}
16 z^3 - 12 z + 3x = 0,\\
24 z^2 - 6 = 0.
\end{cases}
\]
La seconda di queste è soddisfatta per \(z = \pm 1/2\); dalla prima ricavi i corrispondenti valori di \(x\).
Magnifico grazie 
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