Massimi e minimi
Ho una funzione f(x)=(x+1)^2 - 2ln(x+1)
Dato che il ogaritmo è definito solo per valori positivi dell'argomento x deve essere diverso da -1.
Quindi il C.E. di questa funzione và da -1 non compreso a + infinito.
Quindi f(x) non ha massimo assoluto giusto?
Il minimo come devo trovarlo? Dovrebbe essere nel punto (0,1) secondo il libro. Ciò significherebbe che f(x) decresce da meno 1 a o e poi cresce da 0 a infinito positivo.
Come lo trovo questo minimo?
Inoltre se ad esempio dovevo trovarlo limitatamente ad un intervallo es.[-1/2 , 1] come facevo?
Per favore rispondete è davvero urgente a sett nuova ho l'esame, vi prego nn ditemi cose del tipo guarda nel libro oppure prova a fare così, spiegatemelo per bene se potete. Grazie mille.
ps. ho fatto la derivata ed è uguale a 2(x+1)-2/(x+1)
Dato che il ogaritmo è definito solo per valori positivi dell'argomento x deve essere diverso da -1.
Quindi il C.E. di questa funzione và da -1 non compreso a + infinito.
Quindi f(x) non ha massimo assoluto giusto?
Il minimo come devo trovarlo? Dovrebbe essere nel punto (0,1) secondo il libro. Ciò significherebbe che f(x) decresce da meno 1 a o e poi cresce da 0 a infinito positivo.
Come lo trovo questo minimo?
Inoltre se ad esempio dovevo trovarlo limitatamente ad un intervallo es.[-1/2 , 1] come facevo?
Per favore rispondete è davvero urgente a sett nuova ho l'esame, vi prego nn ditemi cose del tipo guarda nel libro oppure prova a fare così, spiegatemelo per bene se potete. Grazie mille.
ps. ho fatto la derivata ed è uguale a 2(x+1)-2/(x+1)
Risposte
Ciao David,
Un metodo pratico generale per trovare i massimi e minimi e' quello di porre la derivata prima = 0.
Risolvendo l'equazione troverai i valori di ascissa in cui la derivata e' nulla (x0, x1, ....).
La derivata, molto banalmente, rappresenta geometricamente l'andamento della funzione, quindi quando la derivata e' negativa significa che la funzione decresce, mentre quando la derivata e' positiva indica che la funzione cresce.
esegui il limite a sinistra e destra di ogni punto ($x_i$):
[dominio permettendo]
$p = lim(x->x_i^-)f'(x)$
$q = lim(x->x_i^+)f'(x)$
se p > 0 e q < 0 allora xi e' un massimo
mentre
se p < 0 e q > 0 allora xi e' un minimo.
Spero di non aver scritto boiate.
A presto,
Eugenio
Un metodo pratico generale per trovare i massimi e minimi e' quello di porre la derivata prima = 0.
Risolvendo l'equazione troverai i valori di ascissa in cui la derivata e' nulla (x0, x1, ....).
La derivata, molto banalmente, rappresenta geometricamente l'andamento della funzione, quindi quando la derivata e' negativa significa che la funzione decresce, mentre quando la derivata e' positiva indica che la funzione cresce.
esegui il limite a sinistra e destra di ogni punto ($x_i$):
[dominio permettendo]
$p = lim(x->x_i^-)f'(x)$
$q = lim(x->x_i^+)f'(x)$
se p > 0 e q < 0 allora xi e' un massimo
mentre
se p < 0 e q > 0 allora xi e' un minimo.
Spero di non aver scritto boiate.
A presto,
Eugenio
Grazie Eugenio, ho capito.
Alternativamente puoi calcolare la derivata SECONDA e sostituire in essa i valori per cui si annulla la derivata PRIMA e....se il risultato è positivo allora il punto è un minimo,se è negativo è un massimo,se è zero allora è molto probabilmente un flesso.
tra 10 minuti posto quello che ho fatto così mi dite se torna...
edit allora, intanto:
f'(x)=2(x+1)-(2/x+1)
f'x>0
2(x+1)-2/(x+1)>0
(2x(x+2))/(x+1)>0
2x>0 x >0
x+2>0 x>-2
x+1>0 x>-1
Quindi facendo il grafico viene che: -20
edit allora, intanto:
f'(x)=2(x+1)-(2/x+1)
f'x>0
2(x+1)-2/(x+1)>0
(2x(x+2))/(x+1)>0
2x>0 x >0
x+2>0 x>-2
x+1>0 x>-1
Quindi facendo il grafico viene che: -2
ci sei?
ti posto la soluzione se vuoi
ti posto la soluzione se vuoi
posta la soluzione...
La derivata prima si annulla in $x=0 e x=-2$
La derivata seconda è $2+2/(x+1)^2$
sostituendo il valore $x=0$ si ottiene $2+2/1^2=4>0$ allora $x=0$ è l'ascissa del minimo;per trovare l'ordinata sostituiamo tale valore nella funzione data
$1^2-2ln1=1$ allora il minimo ha coordinate $(0,1)$
$x=-2$ non può essere estremante in quanto non appartiene al C.E della funzione
La derivata seconda è $2+2/(x+1)^2$
sostituendo il valore $x=0$ si ottiene $2+2/1^2=4>0$ allora $x=0$ è l'ascissa del minimo;per trovare l'ordinata sostituiamo tale valore nella funzione data
$1^2-2ln1=1$ allora il minimo ha coordinate $(0,1)$
$x=-2$ non può essere estremante in quanto non appartiene al C.E della funzione
ok, allora torna come il libro. Ho sbagliato a fare la derivata seconda ecco perchè non tornava...grazie!!:)
Comunque c'eri arrivato te già dal grafico
da $-infty$ a $2$ decresce,allora disegna una freccia verso il basso che parte dai valori a sinistra di $-2$ e si arresta in corrispondenza di $-2$
,per$-2
dal grafico ti accorgerai che -2 e 0 sono minimi e -1 massimo
pero si accetta solo lo zero in quanto -2 e -1 non appartengono al dominio
da $-infty$ a $2$ decresce,allora disegna una freccia verso il basso che parte dai valori a sinistra di $-2$ e si arresta in corrispondenza di $-2$
,per$-2
dal grafico ti accorgerai che -2 e 0 sono minimi e -1 massimo
pero si accetta solo lo zero in quanto -2 e -1 non appartengono al dominio
datemici un occhio che voi siete molto più bravi di me:
ho fatto i minimi e massimi relativi ad alcuni intervalli sempre della stessa funzione.
1)massimo e minimo nell'intervallo [-1/2 , 1]
MAX=(1, 4-2ln(2))
MIN=(0,1)
2)massimo e minimo nell'intervallo [1,5]
MAX=(5 , 36-2ln(6))
MIN=(1, 4 - 2ln(2))
3)massimo e minimo relativo nell'intervallo
[-3/4 , -1/4]
MAX=(-3/4 , 1/8 - 2ln(1/8))
MIN= (-1/4 , 9/16 - 2ln(9/16))
Spero proprio che tornino!
ho fatto i minimi e massimi relativi ad alcuni intervalli sempre della stessa funzione.
1)massimo e minimo nell'intervallo [-1/2 , 1]
MAX=(1, 4-2ln(2))
MIN=(0,1)
2)massimo e minimo nell'intervallo [1,5]
MAX=(5 , 36-2ln(6))
MIN=(1, 4 - 2ln(2))
3)massimo e minimo relativo nell'intervallo
[-3/4 , -1/4]
MAX=(-3/4 , 1/8 - 2ln(1/8))
MIN= (-1/4 , 9/16 - 2ln(9/16))
Spero proprio che tornino!
Ciao David,
sbaglio oppure hai scritto i valori della funzione negli estremi degli intervalli ?
sbaglio oppure hai scritto i valori della funzione negli estremi degli intervalli ?
1)
Poichè si ha $1<1/4-2ln(1/2)<4-2ln2$
il max ASSOLUTO è $x=1$
il min ASSOLUTO è $x=0$
analogamente per gli altri
Poichè si ha $1<1/4-2ln(1/2)<4-2ln2$
il max ASSOLUTO è $x=1$
il min ASSOLUTO è $x=0$
analogamente per gli altri
a me torna così :
1) sappiamo che la funzione in questo intervallo decresce da - 1/2 fino a 0 e poi cresce fino a infinito. Quindi logicamente ha minimo coincidente col minimo assoluto e massimo con ascissa sicuramente uguale a 1. Avendo ascissa uguale a 1 ha ordinata 4 - 2ln(2) quindi il punto di massimo è p(1 , 4 - 2ln(2))
2)stessa storia di prima , da 0 a infinito cresce sempre quindi l'ascissa del minimo sarà 1 e quella del massimo 5.
3)stessa solfa ancora una volta, sappiamo che f(x) da -1 a 0 decresce quindi se mi sposto lungo la funzione da 0 verso - 1 crescerà. siccome - 3/4 è più vicino a -1 di quanto lo sia -1/4 l'ascissa del punto di massimo sarà -3/4 e quella del minimo -1/4.
DOVE é CHE SBAGLIO?Non riesco a capire. Help!
1) sappiamo che la funzione in questo intervallo decresce da - 1/2 fino a 0 e poi cresce fino a infinito. Quindi logicamente ha minimo coincidente col minimo assoluto e massimo con ascissa sicuramente uguale a 1. Avendo ascissa uguale a 1 ha ordinata 4 - 2ln(2) quindi il punto di massimo è p(1 , 4 - 2ln(2))
2)stessa storia di prima , da 0 a infinito cresce sempre quindi l'ascissa del minimo sarà 1 e quella del massimo 5.
3)stessa solfa ancora una volta, sappiamo che f(x) da -1 a 0 decresce quindi se mi sposto lungo la funzione da 0 verso - 1 crescerà. siccome - 3/4 è più vicino a -1 di quanto lo sia -1/4 l'ascissa del punto di massimo sarà -3/4 e quella del minimo -1/4.
DOVE é CHE SBAGLIO?Non riesco a capire. Help!
se leggi attentamente quello che ho scritto io non contraddice ciò ke dici tu
io dico ke il max è $x=1$ e anche tu!
io dico ke il max è $x=1$ e anche tu!
"ENEA84":
se leggi attentamente quello che ho scritto io non contraddice ciò ke dici tu
io dico ke il max è $x=1$ e anche tu!
la funzione in generale secondo me non ha massimo assoluto. Come fa ad avere massimo se da 0 in poi cresce sempre fino a infinito?
Relativamente agli intervalli dovrebbe tornare come ho detto io oppure no? Grazie mille Enea.
forse non hai capito la disuguaglianza $1<1/4-2ln(1/2)<4-2ln2$
1 è il valore che la funzione assume in $x=0$ (ascissa del minimo )
1/4... è il valore " " " " in $x=-1/2$
4-... " " " " " "" $x=1$
1 è il valore che la funzione assume in $x=0$ (ascissa del minimo )
1/4... è il valore " " " " in $x=-1/2$
4-... " " " " " "" $x=1$
l'esistenza del max e min assoluto è garantita dal teorema di WEIERSTRASS in quanto stai considerando un intervallo chiuso e limitato in cui la funzione è definita e continua
questo lo avevo capito ma io devo trovare il punto dove assume il minimo e il massimo non solo l'ascissa di tali punti. se dico che assume il minimo assoluto in x=0 ad esempio non dico niente perchè x=0 è una retta verticale e detto così potrebbe sembrare che l'ascissa del minimo sia 0,4 oppure 0,6 invece è 1 . e lo stesso vale per i minimi e i massimi relativi devo trovare il punto non solo l'ascissa no?
... in cui la funzione è continua, non basta che sia definita.
l'ordinata la trovi sostituendo l'ascissa ,che di volta in volta trovi, nella funzione!
non complicarti le idee,hai capito bene,ti assicuro.
non complicarti le idee,hai capito bene,ti assicuro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo