Massimi e minimi

[itisscience]

l'esercizio mi chiede di trovare massimi e minimi di $ f(x,y)=x^2+y^2 $ su $ M={(x,y)∈RR^2:|x|+|y|<=1} $ .

dallo studio del gradiente della funzione ho trovato (0,0) come punto critico che concludo essere un punto di minimo assoluto essendo la funzione $ >=0 $ .

passo allo studio della frontiera: noto la simmetria di f e di M quindi studio solo l'insieme $ E={(x,y)∈RR^2:x+y=1,0

Cita

Segnala

---

Risposte

Mephlip

11 ago 2021, 07:16

Ciao! Hai detto tu stesso che la funzione e l'insieme sono simmetrici (rispetto a cosa? Va specificato), quindi...
Comunque penso sia una notazione infelice per dire $(1,0)$ oppure $(-1,0)$ oppure $(0,1)$ oppure $(0,-1)$, perché i punti $(1,1)$ e $(-1,-1)$ non appartengono a $M$.

Inoltre, puoi concludere che $(0,0)$ è punto di minimo per $f$ in $M$ anche senza calcolo differenziale: è $f(x,y)=x^2+y^2 \geq 0$ per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ e perciò, in particolare, lo è in $M$.
Essendo $(0,0) \in M$ ed $f(0,0)=0$, segue che $(0,0)$ è minimo di $f$ in $M$ per definizione.

Cita

Segnala

---

itisscience

11 ago 2021, 07:25

grazie per la chiarezza su (0,0)!

comunque la simmetria è, specificando, rispetto all'origine quindi poichè $ g'(x)>0 $ per $ x>1/2 $ nell'intervallo $ 0<=x<=1 $ allora $ (0,1),(1,0) $ sono punti di massimo per g e $ (1/2,1/2) $ è un punto di minimo per g.
in generale non capisco bene come sfruttare le simmetrie: in questo caso la simmetria mi permette di concludere qui la ricerca dei punti di massimi e minimi perchè tanto la funzione assumerà gli stessi valori in $ (0,-1),(-1,0) $ e $ (-1/2,-1/2) $ o sbaglio?
in generale mi piacerebbe avere chiarezza sulla questione delle simmetrie: è sufficiente avere una funzione pari/dispari rispetto a una variabile o deve essere simmetrico anche l'insieme? e come sfrutto queste due cose?

Cita

Segnala

---

Mephlip

11 ago 2021, 07:41

Prego!
Deve essere simmetrico anche l'insieme: per aiutare l'intuito, immagina in una variabile la funzione $\sin x$ nell'intervallo $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ e poi nell'intervallo $\left[-1, \frac{\pi}{2}\right]$. Nonostante $f$ sia dispari e quindi uno si aspetta che il minimo di $f$ sia l'opposto del massimo di $f$, ciò avviene nel primo intervallo ma non nel secondo (perché il primo è simmetrico, ossia è uguale per scambio di $x$ con $-x$, mentre il secondo non lo è; detto brutalmente, il secondo intervallo è "sbilanciato rispetto a $0$", nel senso che ha "meno valori a sinistra dello $0$" e "più valori a destra dello $0$" e quindi la simmetria non aiuta visto che il massimo è in $\pi/2$ e $-\pi/2$ non appartiene all'insieme. Su altri valori aiuta, quelli simmetrici rispetto a $0$ appunto).
Vale anche in più variabili, il discorso diventa un pochino più complicato da pensare graficamente ma l'idea è uguale.

Quindi, visto che $f$ è pari in entrambe le variabili e l'insieme $M$ è pari (simmetrico) in entrambe le variabili, tanto vale assumere $x \geq 0$ e $y \geq 0$ e restringere lo studio all'intersezione tra $M$ e il primo quadrante $Q_1=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x \geq0 \wedge \ y \geq 0 \}$ (con $\wedge$ intendo la congiunzione logica "e"), ossia a
$$M \cap Q_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |x|+|y| \leq 1\} \cap \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x \geq 0 \wedge y \geq 0\}$$
$$= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |x|+|y| \leq 1 \ \wedge x \geq 0 \wedge y \geq 0\}$$
$$=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x+y \leq 1 \wedge x \geq 0 \wedge y \geq 0 \}$$

Quindi occhio qua

"itisscience":$ E={(x,y)∈RR^2:x+y=1,0
Perché hai parlato di simmetrie rispetto all'origine togliendo il valore assoluto alla $y$, ma nell'insieme hai specificato solamente $x >0$ e non va bene (se non specifichi che $y>0$ allora non puoi rimuovere il modulo e non stai specificando che la simmetria la stai considerando anche nella variabile $y$).

Cita

Segnala

---

itisscience

11 ago 2021, 07:51

"itisscience":

in questo caso la simmetria mi permette di concludere qui la ricerca dei punti di massimi e minimi perchè tanto la funzione assumerà gli stessi valori in $ (0,-1),(-1,0) $ e $ (-1/2,-1/2) $ o sbaglio?

quindi dovrebbe essere corretto? se mi dici di no rileggo ancora una volta la tua risposta

Cita

Segnala

---

Mephlip

11 ago 2021, 08:05

Sì, è corretto. Abbi più fiducia in te stesso! Per averne, devi capire le cose più a fondo (anche intuitivamente e graficamente, non necessariamente in maniera rigorosa e astratta).

Un modo per essere più sicuro è convincersi che non potrebbe essere altrimenti, almeno per i punti di minimo assoluto $(0,0)$ e di massimo assoluto $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ e $(0,-1)$: pensa alla funzione $z=x^2+y^2$, è un paraboloide (parabola in 3D) che, nel nostro caso, non può assumere valori in corrispondenza di tutto il piano $\mathbb{R}^2$ ma è vincolato ad avere proiezione ortogonale sul piano $(x,y)$ in corrispondenza dei punti $(x,y)$ che obbediscono al vincolo $|x|+|y| \leq 1$.

Tracciati il grafico di $|x|+|y| \leq 1$ come funzione di una variabile: lo sai fare da analisi 1, perché la disuguaglianza è equivalente a $|y| \leq 1-|x|$ che è ancora equivalente a $-(1-|x|) \leq y \leq 1-|x|$, e questi sono grafici elementari (se proprio non ti va, scrivi la disuguaglianza $-(1-|x|) \leq y \leq 1-|x|$ su GeoGebra e quella è la proiezione sul piano $(x,y)$; ma ti consiglio di sfruttare questo strumento grafico criticamente, ossia per confermare congetture ma sempre nell'ottica di capire le cose e non per usarlo pigrizia).

Quindi ti immagini quel paraboloide che ti ho linkato, che però non può assumere i valori $z$ che vuole in corrispondenza dei punti di $\mathbb{R}^2$ ma deve assumere valori in corrispondenza degli $(x,y)$ su quel rombo appartenente al piano $(x,y)$ che è dato da $-(1-|x|) \leq y \leq 1-|x|$: quel paraboloide è sempre positivo (ed è nullo solo nell'origine) e cresce come quota $z$ quando ti allontani dall'origine, ma si deve fermare in corrispondenza dei punti $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ e $(0-1)$ (o altrimenti esci dal rombo $E$) e dunque si capisce che quelli sono punti di massimo perché in corrispondenza dei vertici del rombo il paraboloide si deve necessariamente "impennare" (per immaginarlo, pensa ad $E$ come un cerchio di raggio $1$ e centro l'origine e poi come $|x|+|y| \leq 1$: nel secondo caso, a differenza del cerchio, l'insieme "taglia" il paraboloide sui lati del rombo e quindi questo deve incurvarsi verso l'alto in corrispondenza dei vertici $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ e $(0-1)$).

Diverso è per i punti di massimo locale dati da $(1/2,1/2)$ e $(-1/2,-1/2)$, o meglio: con un po' di intuito grafico si capisce che sono massimi locali, ma è meno facile.

Quindi vedi, conoscere i grafici delle funzioni di due variabili più frequenti (come il paraboloide) e saper disegnare al volo un insieme sul piano come $E$ ti permette sicuramente di ottenere un sacco di informazioni senza fare nessun conto: quindi, in caso di errori, puoi capire se stai facendo cose senza senso anche in tempi brevi. Questo è importantissimo, sia in sede di esame che per la tua preparazione.

Cita

Segnala

---

itisscience

11 ago 2021, 08:46

sono riuscito a disegnare il rombo in una variabile, ma non capisco perchè in 3d diventi un paraboloide...
poi ho difficoltà a disegnare insiemi più complessi come $ {(|x|-1)^2+(|y|-1)^2>=1,|x|<=1,|y|<=1} $ .. come posso fare?

Cita

Segnala

---

Mephlip

11 ago 2021, 09:00

No, il rombo non "diventa" niente. Per questo ho specificato assumere valori "in corrispondenza" e ho parlato di "proiezioni ortogonali".
A meno che non intendevi qualcosa tipo "l'immagine del rombo tramite $f$", ma non penso.
È l'insieme in cui la funzione, il cui grafico è un paraboloide, è vincolata a prendere in entrata delle coppie di numeri reali $(x,y)$ e restituire in uscita un numero reale $z$.

Sembra che ti manchino un po' di concetti di base delle funzioni di più variabili: come per funzioni di una variabile hai che il suo grafico è una curva nel piano, per funzioni di due variabili il grafico è una superficie nello spazio.
Come in una variabile, se ti metti in un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ (ossia in un intervallo) ottieni come grafico una "porzione" di curva, in più variabili se ti metti in un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$ (il rombo) ottieni come grafico una "porzione" di superficie.
Detto brutalmente, per trovare artigianalmente il grafico di $f$ in una variabile facevi partire dei segmenti verticali a $x_0$ fisso su un intervallo e vedevi quanto valeva la corrispondente $f(x_0)$ sull'asse $y$: qua è uguale, a $(x_0,y_0)$ fisso su un piano vedi quanto vale la corrispondente $f(x_0,y_0)$ sull'asse $z$.
Mettendo insieme gli infiniti punti (ora questo procedimento te lo approssima un computer), ti fai un'idea del grafico: questo è quello che ti dicevo prima riguardo a "prendere in entrata coppie di numeri reali".

Chiaramente non tutti gli insiemi si disegnano agevolmente: ma quest'ultimo che hai proposto si disegna. Ti mancano un po' di basi anche prima dell'analisi, quell'insieme si disegna con conoscenze di geometria analitica.
Anche se non lo sai disegnare al volo con la geometria analitica, puoi comunque andare di definizioni. Discuti i moduli, poi però qualche luogo geometrico dalla geometria analitica lo devi conoscere. Altrimenti non è proprio possibile farlo.

Cita

Segnala

---

itisscience

11 ago 2021, 09:05

ora mi è più chiaro! un'ultima cosa, spezzo l'ultimo insieme scritto in 4 quarti di circonferenza, quello che si trova nel secondo quadrante io l'ho scritto così: $ {(x,y)∈RR^2:(x-1)+(y-1)^2>=1, -1<=x<=0,0<=y<=1} $ , invece il libro riporta $ {(x,y)∈RR^2:(x+1)+(y-1)^2>=1, -1<=x<=0,0<=y<=1} $ e non capisco come mai
comunque cercherò di colmare le lacune in geometria analitica

Cita

Segnala

---

Mephlip

11 ago 2021, 09:08

Ha ragione il libro, se $-1 \leq x \leq 0$ è $|x|=-x$ e quindi $(|x|-1)^2=(-x-1)^2=[-(x+1)]^2=(-1)^2 (x+1)^2=(x+1)^2$.
Dovrebbero esserci dei quadrati per le parentesi con le $x$ negli insiemi typo?

Cita

Segnala

---

itisscience

11 ago 2021, 09:15

giusto grazie! se non chiedo troppo, potresti darmi un suggerimento nell'altro topic?

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Mephlip]

Ciao! Hai detto tu stesso che la funzione e l'insieme sono simmetrici (rispetto a cosa? Va specificato), quindi...
Comunque penso sia una notazione infelice per dire $(1,0)$ oppure $(-1,0)$ oppure $(0,1)$ oppure $(0,-1)$, perché i punti $(1,1)$ e $(-1,-1)$ non appartengono a $M$.

Inoltre, puoi concludere che $(0,0)$ è punto di minimo per $f$ in $M$ anche senza calcolo differenziale: è $f(x,y)=x^2+y^2 \geq 0$ per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ e perciò, in particolare, lo è in $M$.
Essendo $(0,0) \in M$ ed $f(0,0)=0$, segue che $(0,0)$ è minimo di $f$ in $M$ per definizione.

[itisscience]

grazie per la chiarezza su (0,0)!

comunque la simmetria è, specificando, rispetto all'origine quindi poichè $ g'(x)>0 $ per $ x>1/2 $ nell'intervallo $ 0<=x<=1 $ allora $ (0,1),(1,0) $ sono punti di massimo per g e $ (1/2,1/2) $ è un punto di minimo per g.
in generale non capisco bene come sfruttare le simmetrie: in questo caso la simmetria mi permette di concludere qui la ricerca dei punti di massimi e minimi perchè tanto la funzione assumerà gli stessi valori in $ (0,-1),(-1,0) $ e $ (-1/2,-1/2) $ o sbaglio?
in generale mi piacerebbe avere chiarezza sulla questione delle simmetrie: è sufficiente avere una funzione pari/dispari rispetto a una variabile o deve essere simmetrico anche l'insieme? e come sfrutto queste due cose?

[Mephlip]

Prego!
Deve essere simmetrico anche l'insieme: per aiutare l'intuito, immagina in una variabile la funzione $\sin x$ nell'intervallo $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ e poi nell'intervallo $\left[-1, \frac{\pi}{2}\right]$. Nonostante $f$ sia dispari e quindi uno si aspetta che il minimo di $f$ sia l'opposto del massimo di $f$, ciò avviene nel primo intervallo ma non nel secondo (perché il primo è simmetrico, ossia è uguale per scambio di $x$ con $-x$, mentre il secondo non lo è; detto brutalmente, il secondo intervallo è "sbilanciato rispetto a $0$", nel senso che ha "meno valori a sinistra dello $0$" e "più valori a destra dello $0$" e quindi la simmetria non aiuta visto che il massimo è in $\pi/2$ e $-\pi/2$ non appartiene all'insieme. Su altri valori aiuta, quelli simmetrici rispetto a $0$ appunto).
Vale anche in più variabili, il discorso diventa un pochino più complicato da pensare graficamente ma l'idea è uguale.

Quindi, visto che $f$ è pari in entrambe le variabili e l'insieme $M$ è pari (simmetrico) in entrambe le variabili, tanto vale assumere $x \geq 0$ e $y \geq 0$ e restringere lo studio all'intersezione tra $M$ e il primo quadrante $Q_1=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x \geq0 \wedge \ y \geq 0 \}$ (con $\wedge$ intendo la congiunzione logica "e"), ossia a
$$M \cap Q_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |x|+|y| \leq 1\} \cap \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x \geq 0 \wedge y \geq 0\}$$
$$= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ |x|+|y| \leq 1 \ \wedge x \geq 0 \wedge y \geq 0\}$$
$$=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x+y \leq 1 \wedge x \geq 0 \wedge y \geq 0 \}$$

Quindi occhio qua

"itisscience":$ E={(x,y)∈RR^2:x+y=1,0
Perché hai parlato di simmetrie rispetto all'origine togliendo il valore assoluto alla $y$, ma nell'insieme hai specificato solamente $x >0$ e non va bene (se non specifichi che $y>0$ allora non puoi rimuovere il modulo e non stai specificando che la simmetria la stai considerando anche nella variabile $y$).

[itisscience]

"itisscience":

in questo caso la simmetria mi permette di concludere qui la ricerca dei punti di massimi e minimi perchè tanto la funzione assumerà gli stessi valori in $ (0,-1),(-1,0) $ e $ (-1/2,-1/2) $ o sbaglio?

quindi dovrebbe essere corretto? se mi dici di no rileggo ancora una volta la tua risposta

[Mephlip]

Sì, è corretto. Abbi più fiducia in te stesso! Per averne, devi capire le cose più a fondo (anche intuitivamente e graficamente, non necessariamente in maniera rigorosa e astratta).

Un modo per essere più sicuro è convincersi che non potrebbe essere altrimenti, almeno per i punti di minimo assoluto $(0,0)$ e di massimo assoluto $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ e $(0,-1)$: pensa alla funzione $z=x^2+y^2$, è un paraboloide (parabola in 3D) che, nel nostro caso, non può assumere valori in corrispondenza di tutto il piano $\mathbb{R}^2$ ma è vincolato ad avere proiezione ortogonale sul piano $(x,y)$ in corrispondenza dei punti $(x,y)$ che obbediscono al vincolo $|x|+|y| \leq 1$.

Tracciati il grafico di $|x|+|y| \leq 1$ come funzione di una variabile: lo sai fare da analisi 1, perché la disuguaglianza è equivalente a $|y| \leq 1-|x|$ che è ancora equivalente a $-(1-|x|) \leq y \leq 1-|x|$, e questi sono grafici elementari (se proprio non ti va, scrivi la disuguaglianza $-(1-|x|) \leq y \leq 1-|x|$ su GeoGebra e quella è la proiezione sul piano $(x,y)$; ma ti consiglio di sfruttare questo strumento grafico criticamente, ossia per confermare congetture ma sempre nell'ottica di capire le cose e non per usarlo pigrizia).

Quindi ti immagini quel paraboloide che ti ho linkato, che però non può assumere i valori $z$ che vuole in corrispondenza dei punti di $\mathbb{R}^2$ ma deve assumere valori in corrispondenza degli $(x,y)$ su quel rombo appartenente al piano $(x,y)$ che è dato da $-(1-|x|) \leq y \leq 1-|x|$: quel paraboloide è sempre positivo (ed è nullo solo nell'origine) e cresce come quota $z$ quando ti allontani dall'origine, ma si deve fermare in corrispondenza dei punti $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ e $(0-1)$ (o altrimenti esci dal rombo $E$) e dunque si capisce che quelli sono punti di massimo perché in corrispondenza dei vertici del rombo il paraboloide si deve necessariamente "impennare" (per immaginarlo, pensa ad $E$ come un cerchio di raggio $1$ e centro l'origine e poi come $|x|+|y| \leq 1$: nel secondo caso, a differenza del cerchio, l'insieme "taglia" il paraboloide sui lati del rombo e quindi questo deve incurvarsi verso l'alto in corrispondenza dei vertici $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ e $(0-1)$).

Diverso è per i punti di massimo locale dati da $(1/2,1/2)$ e $(-1/2,-1/2)$, o meglio: con un po' di intuito grafico si capisce che sono massimi locali, ma è meno facile.

Quindi vedi, conoscere i grafici delle funzioni di due variabili più frequenti (come il paraboloide) e saper disegnare al volo un insieme sul piano come $E$ ti permette sicuramente di ottenere un sacco di informazioni senza fare nessun conto: quindi, in caso di errori, puoi capire se stai facendo cose senza senso anche in tempi brevi. Questo è importantissimo, sia in sede di esame che per la tua preparazione.

[itisscience]

sono riuscito a disegnare il rombo in una variabile, ma non capisco perchè in 3d diventi un paraboloide...
poi ho difficoltà a disegnare insiemi più complessi come $ {(|x|-1)^2+(|y|-1)^2>=1,|x|<=1,|y|<=1} $ .. come posso fare?

[Mephlip]

No, il rombo non "diventa" niente. Per questo ho specificato assumere valori "in corrispondenza" e ho parlato di "proiezioni ortogonali".
A meno che non intendevi qualcosa tipo "l'immagine del rombo tramite $f$", ma non penso.
È l'insieme in cui la funzione, il cui grafico è un paraboloide, è vincolata a prendere in entrata delle coppie di numeri reali $(x,y)$ e restituire in uscita un numero reale $z$.

Sembra che ti manchino un po' di concetti di base delle funzioni di più variabili: come per funzioni di una variabile hai che il suo grafico è una curva nel piano, per funzioni di due variabili il grafico è una superficie nello spazio.
Come in una variabile, se ti metti in un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ (ossia in un intervallo) ottieni come grafico una "porzione" di curva, in più variabili se ti metti in un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$ (il rombo) ottieni come grafico una "porzione" di superficie.
Detto brutalmente, per trovare artigianalmente il grafico di $f$ in una variabile facevi partire dei segmenti verticali a $x_0$ fisso su un intervallo e vedevi quanto valeva la corrispondente $f(x_0)$ sull'asse $y$: qua è uguale, a $(x_0,y_0)$ fisso su un piano vedi quanto vale la corrispondente $f(x_0,y_0)$ sull'asse $z$.
Mettendo insieme gli infiniti punti (ora questo procedimento te lo approssima un computer), ti fai un'idea del grafico: questo è quello che ti dicevo prima riguardo a "prendere in entrata coppie di numeri reali".

Chiaramente non tutti gli insiemi si disegnano agevolmente: ma quest'ultimo che hai proposto si disegna. Ti mancano un po' di basi anche prima dell'analisi, quell'insieme si disegna con conoscenze di geometria analitica.
Anche se non lo sai disegnare al volo con la geometria analitica, puoi comunque andare di definizioni. Discuti i moduli, poi però qualche luogo geometrico dalla geometria analitica lo devi conoscere. Altrimenti non è proprio possibile farlo.

[itisscience]

ora mi è più chiaro! un'ultima cosa, spezzo l'ultimo insieme scritto in 4 quarti di circonferenza, quello che si trova nel secondo quadrante io l'ho scritto così: $ {(x,y)∈RR^2:(x-1)+(y-1)^2>=1, -1<=x<=0,0<=y<=1} $ , invece il libro riporta $ {(x,y)∈RR^2:(x+1)+(y-1)^2>=1, -1<=x<=0,0<=y<=1} $ e non capisco come mai
comunque cercherò di colmare le lacune in geometria analitica

[Mephlip]

Ha ragione il libro, se $-1 \leq x \leq 0$ è $|x|=-x$ e quindi $(|x|-1)^2=(-x-1)^2=[-(x+1)]^2=(-1)^2 (x+1)^2=(x+1)^2$.
Dovrebbero esserci dei quadrati per le parentesi con le $x$ negli insiemi typo?

[itisscience]

giusto grazie! se non chiedo troppo, potresti darmi un suggerimento nell'altro topic?