Massimi e minimi
devo studiare massimi e minimi di $ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+x+y+z $ su $ E={x^2+y^2<=4,|x-y|<=2<=z<=3} $ .
cerco dapprima i punti critici interni ad E vedendo quando si annulla il gradiente:
$ (2x+1,2y+1,2z+1)=(0,0,0)<=>(x,y,z)=(-1/2,-1/2,-1/2) $ che tuttavia è un punto che non appartiene ad E perchè trovo un assurdo se sostituisco $ (-1/2,-1/2,-1/2) $ a $ 2<=z $ trovando $ 2<=-1/2 $
è corretto?
cerco dapprima i punti critici interni ad E vedendo quando si annulla il gradiente:
$ (2x+1,2y+1,2z+1)=(0,0,0)<=>(x,y,z)=(-1/2,-1/2,-1/2) $ che tuttavia è un punto che non appartiene ad E perchè trovo un assurdo se sostituisco $ (-1/2,-1/2,-1/2) $ a $ 2<=z $ trovando $ 2<=-1/2 $
è corretto?
Risposte
Sì, è corretto: non ci sono punti stazionari interni perché il gradiente esiste sempre in $E$ e non si annulla mai in $E$ perché l'unico punto che lo annulla, come hai correttamente osservato, non appartiene a $E$.
ottimo! potresti guidarmi nella ricerca dei punti di massimo e minimo sulla frontiera di E? magari qualche suggerimento così posso provare io
Onestamente l'esercizio non lo so fare con un metodo standard, nel senso: non vedo una parametrizzazione decente della frontiera, cosa che porterebbe fare un mucchio di conti che ucciderebbero un maiale adulto. Quindi o sono scarso o sono in modalità pigro, speriamo che qualcuno ne veda una.
Tuttavia mi sembra funzionare questo approccio: possiamo notare che $f$ ed $E$ sono simmetrici rispetto al piano $y=x$, perché se scambiamo $x$ con $y$ non cambia né $f$ né $E$.
Quindi studiamo $g(x,z):=f(x,x,z)=2x^2+z^2+2x+z$ nell'insieme $F=\{(x,z) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 2x^2 \leq 4, 2 \leq z \leq 3\}$.
Possiamo inoltre notare che, completando i quadrati, è $g(x,z)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(z+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}$; perciò $g$, almeno sulle coppie $(x_0,z_0)$ tali che $x_0 \geq -\frac{1}{2}$ e $z_0 \geq -\frac{1}{2}$, è monotòna crescente (i quadrati sono crescenti quando i loro argomenti sono non negativi e le costanti sono crescenti, quindi la loro somma è crescente quando i loro argomenti non sono negativi), perciò, dato che $x$ si trova nell'intervallo $2x^2 \leq 4 \iff -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ e $2 \leq z \leq 3$, il punto di massimo per $g$ è $(x,z)=(\sqrt{2},3)$.
Dato che $z \geq 2$, in particolare è $z \geq -\frac{1}{2}$ e quindi il quadrato $\left(z+\frac{1}{2}\right)^2$ è monotòno crescente sempre in $F$ e quindi il minimo è assunto per $z=2$.
Rimane da trovare per quale $x$ viene assunto il minimo: conoscendo una $z$ per cui è assunto, fissiamo $z=2$ ottenendo la funzione di una variabile $h(x):=g(x,2)$.
Essa, derivando, ha minimo in $x=-\frac{1}{2}$, perciò il punto di minimo per $g$ è $(x,z)=\left(-\frac{1}{2},2\right)$.
Quindi, dato che $y=x$ per $f$, otteniamo che $f$ assume massimo in $(\sqrt{2},\sqrt{2},3)$ e minimo in $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},2\right)$.
Non sono per niente sicuro quello che ho scritto abbia completamente senso: ma mi sembra sensato, anche perché stanno sulla frontiera.
Questi punti di massimo e di minimo potrebbero non essere unici, però per monotonia di $f$ nelle tre variabili dovrebbero esserlo.
Tuttavia mi sembra funzionare questo approccio: possiamo notare che $f$ ed $E$ sono simmetrici rispetto al piano $y=x$, perché se scambiamo $x$ con $y$ non cambia né $f$ né $E$.
Quindi studiamo $g(x,z):=f(x,x,z)=2x^2+z^2+2x+z$ nell'insieme $F=\{(x,z) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 2x^2 \leq 4, 2 \leq z \leq 3\}$.
Possiamo inoltre notare che, completando i quadrati, è $g(x,z)=2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(z+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}$; perciò $g$, almeno sulle coppie $(x_0,z_0)$ tali che $x_0 \geq -\frac{1}{2}$ e $z_0 \geq -\frac{1}{2}$, è monotòna crescente (i quadrati sono crescenti quando i loro argomenti sono non negativi e le costanti sono crescenti, quindi la loro somma è crescente quando i loro argomenti non sono negativi), perciò, dato che $x$ si trova nell'intervallo $2x^2 \leq 4 \iff -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ e $2 \leq z \leq 3$, il punto di massimo per $g$ è $(x,z)=(\sqrt{2},3)$.
Dato che $z \geq 2$, in particolare è $z \geq -\frac{1}{2}$ e quindi il quadrato $\left(z+\frac{1}{2}\right)^2$ è monotòno crescente sempre in $F$ e quindi il minimo è assunto per $z=2$.
Rimane da trovare per quale $x$ viene assunto il minimo: conoscendo una $z$ per cui è assunto, fissiamo $z=2$ ottenendo la funzione di una variabile $h(x):=g(x,2)$.
Essa, derivando, ha minimo in $x=-\frac{1}{2}$, perciò il punto di minimo per $g$ è $(x,z)=\left(-\frac{1}{2},2\right)$.
Quindi, dato che $y=x$ per $f$, otteniamo che $f$ assume massimo in $(\sqrt{2},\sqrt{2},3)$ e minimo in $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},2\right)$.
Non sono per niente sicuro quello che ho scritto abbia completamente senso: ma mi sembra sensato, anche perché stanno sulla frontiera.
Questi punti di massimo e di minimo potrebbero non essere unici, però per monotonia di $f$ nelle tre variabili dovrebbero esserlo.
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