Massimi e minimi
Salve a tutti, ho un banalissimo dubbio sullo studio dei massimi e minimi per funzioni di 2 variabili.
Posto un esempio per essere più chiaro.
$f(x,y)=x^2-y^2+4$
$D={(x,y) in RR^2 : x^2-2<=y , y<=3}$
Per quanto riguarda i punti interni so come comportarmi, per quanto riguarda lo studio sulla frontiera, la parametrizzo in 2 "pezzi":
$1) (t,3) : t in [-sqrt5,sqrt5] rArr f(t,3)=t^2-5$ che studio in $[-sqrt5,sqrt5]$
$2) (t,t^2-2) : t in [-sqrt5,sqrt5] rArr f(t,t^2-2)=5t^2-t^4$ che studio sempre in $[-sqrt5,sqrt5]$
Quando vado a studiare, seperatamente, questi 2 "pezzi", devo considerare solo i punti in cui la derivata prima si annulla o devo studiare anche i punti alle 2 estremità dell intervallo? Ovvero in $[-sqrt5,sqrt5]$
Grazie anticipatamente
Posto un esempio per essere più chiaro.
$f(x,y)=x^2-y^2+4$
$D={(x,y) in RR^2 : x^2-2<=y , y<=3}$
Per quanto riguarda i punti interni so come comportarmi, per quanto riguarda lo studio sulla frontiera, la parametrizzo in 2 "pezzi":
$1) (t,3) : t in [-sqrt5,sqrt5] rArr f(t,3)=t^2-5$ che studio in $[-sqrt5,sqrt5]$
$2) (t,t^2-2) : t in [-sqrt5,sqrt5] rArr f(t,t^2-2)=5t^2-t^4$ che studio sempre in $[-sqrt5,sqrt5]$
Quando vado a studiare, seperatamente, questi 2 "pezzi", devo considerare solo i punti in cui la derivata prima si annulla o devo studiare anche i punti alle 2 estremità dell intervallo? Ovvero in $[-sqrt5,sqrt5]$
Grazie anticipatamente
Risposte
Dato che la frontiera è una curva regolare solamente a tratti, bisogna studiare anche i punti in cui non è regolare, in questo caso i punti $(+-sqrt5,0)$.
"otta96":
Dato che la frontiera è una curva regolare solamente a tratti, bisogna studiare anche i punti in cui non è regolare, in questo caso i punti $(+-sqrt5,0)$.
Non ho capito scusa. Ma i punti $(+-sqrt5,0)$ non sono al di fuori del dominio? O mi sto sbagliando?
Quello che non capisco é se, quando studio i singoli "pezzi", devo sostituire a $t$ solo il punto che annulla la derivata prima o ci devo sostituire anche gli estremi dell'intervallo. Quindi $t=+- sqrt5$
Mi spiego meglio:
Nel pezzo
$1)$ $f(t,3): t in [-sqrt5,+sqrt5]$
Al posto della $t$ devo sostituire solo $0$ o anche $+-sqrt5$?
Grazie ancora per i tuoi aiuti
Ho sbagliato a scrivere, scusami, intendevo $(+-sqrt5,3)$ che sono i punti che ti creano problemi, in generale per risolvere questo tipo di problemi, ti calcoli la funzione nei punti critici interni (determinati con Fermat), poi nei punti critici vincolati (determinati con i moltiplicatori di Lagrenge oppure parametrizzando la frontiera), infine nei punti in cui la frontiera non è regolare (punti angolosi) e confronti i valori, il massimo di questi è il massimo della funzione, per il minimo idem.
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