Massimi e minimi
Sia A un numero reale. Per quali valori di A la funzione g(t)= $ e^(At)(t^4+1) $ é crescente?
Ora so che devo fare i massimi e minimo quindi faccio prima la derivata di g(x) $ e^(At)(At^4+A+4t^3) $ e pongo tutto maggiore di zero. Quindi $ e^(At) $ maggiore di zero quindi t>0 e $ (At^4+A+4t^3) $ maggiore di zero. Come posso scomporre questo polinomio? Provo con Ruffini ma quella A mi da problemi. Grazie
Ora so che devo fare i massimi e minimo quindi faccio prima la derivata di g(x) $ e^(At)(At^4+A+4t^3) $ e pongo tutto maggiore di zero. Quindi $ e^(At) $ maggiore di zero quindi t>0 e $ (At^4+A+4t^3) $ maggiore di zero. Come posso scomporre questo polinomio? Provo con Ruffini ma quella A mi da problemi. Grazie
Risposte
puoi subito notare che se $A<=0$ la funzione $g(t)$ non è crescente.
Ora passiamo a risolvere $At^4+4t^3+A>0$ nel caso $A>0$
per comodità, poniamo $f(t)= At^4+4t^3+A$.
si ha $f'(t)=4A t^3+12t^2 = 4t^2(At+12)$. Dunque $f'(t)= 0 <=> t=0 vv t= -12/A$
abbiamo $f(0)= A>0$ e $f(-12/A)= (12^4)/(A^3)-4*(12^3)/(A^3)+A= (12^3)/(A^3) *[12-4]+A= 8(12^3)/(A^3) +A>0$,
dunque, poichè in tutti i punti stazionari si ha $f(t)>0$ e $lim_{t -> +-oo}f(t)= +oo$,
necessariamente $f(t)>0$ per ogni $t in RR$.
Ciò significa che, se $A>0$, la funzione $g(t)$ è sempre crescente.
Ora passiamo a risolvere $At^4+4t^3+A>0$ nel caso $A>0$
per comodità, poniamo $f(t)= At^4+4t^3+A$.
si ha $f'(t)=4A t^3+12t^2 = 4t^2(At+12)$. Dunque $f'(t)= 0 <=> t=0 vv t= -12/A$
abbiamo $f(0)= A>0$ e $f(-12/A)= (12^4)/(A^3)-4*(12^3)/(A^3)+A= (12^3)/(A^3) *[12-4]+A= 8(12^3)/(A^3) +A>0$,
dunque, poichè in tutti i punti stazionari si ha $f(t)>0$ e $lim_{t -> +-oo}f(t)= +oo$,
necessariamente $f(t)>0$ per ogni $t in RR$.
Ciò significa che, se $A>0$, la funzione $g(t)$ è sempre crescente.
Domanda vaga e temo stupida: quando devo vedere se una funzione è crescente mi lancio sulla derivata prima. Ok... Ma in alcuni casi la funzione (se p. es. contiene delle costanti) può essere "semplificata" sostituendone le "parti" con parti più semplici, per studiare poi la derivata della funzione più "semplice" ottenuta? Cioè con un ragionamento del tipo: g(x) è crescente se lo è f(x), che è più semplice; f(x) è crescente se lo è h(x), più semplice, ecc. Se la domanda ha senso, che esempio si potrebbe costruire?
Ad esempio se tu avessi $g(x)=\sqrt{f(x)}$ basterebbe valutare la monotonia di $f(x)$. E ci sono tanti altri esempi.
Grazie Ciampax. Ci ho pensato ancora un po' non è utile o non si trovano spesso, negli esercizi, casi "fortunati" in cui le funzioni di possono "semplificare".
Eh?