Massimi di una funzione NON continua

[MMarco94]

Ciao a tutti, volevo sapere se esiste un teorema che garantisca che una funzione ammetta un massimo in un intervallo [a;b] in cui la funzione è definita ma NON continua.
Purtroppo il teorema di Weierstrass richiede che la funzione sia continua, quindi non è applicabile.


PS: per massimo non intendo un massimo calcolabile via derivazione, ma un massimo in generale, ad esempio se l'insieme delle immagini è [-1;4] allora è garantito che esista un massimo (che nell'esempio è f(x)=4, ma non mi interessa il valore).

Grazie mille!

[gugo82]

No.

Prendi:
\[
f(x) = \begin{cases} 1-x &\text{, se } 0 \]
essa non ha né massimo né minimo in \([-1,1]\) (nonostante tale insieme sia compatto).

Ovviamente, però, se già sai che l'immagine della funzione è dotata di massimo, allora il punto di massimo nel dominio c'è necessariamente.
Analoga considerazione vale per il minimo.

[MMarco94]

Nella funzione di esempio tua però il massimo esiste ed è 1 nel punto x=0+ (permettimi questo linguaggio).
Ad ogni modo preciso che mi interessa sapere se ha un massimo in un intervallo [a;b] in cui la funzione è definita e non continua, e non in tutto in dominio.