Massimi di funzioni convesse

anto_zoolander
Ciao!

parlavo con un ragazzo e discutevamo sulle funzioni convesse: mi ha chiesto se potessi dimostrargli che i massimi di funzioni convesse non possono essere punti interni(con la def di convessità).
Mi sono scervellato un po' e mi è venuto questo

sia $f:C->RR$ una funzione strettamente convessa con $CsubsetV$ convesso dello spazio $RR-$normato $(V,norm(*))$: se $x$ è interno a $C$ allora non è un massimo

se $x$ è interno a $C$ allora esiste $r>0$ per cui $B(x,r) subsetC$. Preso $0
essendo $x=1/2(x-sv)+1/2(x+sv)$ dalla stretta convessità si ottiene

$f(x)<1/2f(x-sv)+1/2f(x+sv)=1/2[f(x-sv)+f(x+sv)]leqmax{f(x-sv),f(x+sv)}$


mi sembra reggere.

Risposte
otta96
Mi sembra proprio che funzioni.

anto_zoolander
Perfetto :-D
In fondo ho solo cercato di scrivere quello che facilmente può vedere

Fioravante Patrone1
Giusto per fare un passo un più.

Se si guarda l'argomentazione (standard, quasi obbligata) di anto_zoolander, si vede che non si usa tutto il potere che ci è dato dall'assumere che il punto sia interno. Provare per credere, basta prendere un segmento in $RR^n$ e funge lo stesso.
E' sufficiente prendere l'interno "relativo", cioè i punti che sono interni considerando lo "span affine" dell'insieme convesso su cui la funzione è definita.

anto_zoolander
Ciao fioravante
In questa dimostrazione non mi interessava andare per il sottile, però grazie dell’osservazione, ne farò tesoro.

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