Massimi di funzioni convesse
Ciao!
parlavo con un ragazzo e discutevamo sulle funzioni convesse: mi ha chiesto se potessi dimostrargli che i massimi di funzioni convesse non possono essere punti interni(con la def di convessità).
Mi sono scervellato un po' e mi è venuto questo
sia $f:C->RR$ una funzione strettamente convessa con $CsubsetV$ convesso dello spazio $RR-$normato $(V,norm(*))$: se $x$ è interno a $C$ allora non è un massimo
se $x$ è interno a $C$ allora esiste $r>0$ per cui $B(x,r) subsetC$. Preso $0
essendo $x=1/2(x-sv)+1/2(x+sv)$ dalla stretta convessità si ottiene
mi sembra reggere.
parlavo con un ragazzo e discutevamo sulle funzioni convesse: mi ha chiesto se potessi dimostrargli che i massimi di funzioni convesse non possono essere punti interni(con la def di convessità).
Mi sono scervellato un po' e mi è venuto questo
sia $f:C->RR$ una funzione strettamente convessa con $CsubsetV$ convesso dello spazio $RR-$normato $(V,norm(*))$: se $x$ è interno a $C$ allora non è un massimo
se $x$ è interno a $C$ allora esiste $r>0$ per cui $B(x,r) subsetC$. Preso $0
essendo $x=1/2(x-sv)+1/2(x+sv)$ dalla stretta convessità si ottiene
$f(x)<1/2f(x-sv)+1/2f(x+sv)=1/2[f(x-sv)+f(x+sv)]leqmax{f(x-sv),f(x+sv)}$
mi sembra reggere.
Risposte
Mi sembra proprio che funzioni.
Perfetto
In fondo ho solo cercato di scrivere quello che facilmente può vedere

In fondo ho solo cercato di scrivere quello che facilmente può vedere
Giusto per fare un passo un più.
Se si guarda l'argomentazione (standard, quasi obbligata) di anto_zoolander, si vede che non si usa tutto il potere che ci è dato dall'assumere che il punto sia interno. Provare per credere, basta prendere un segmento in $RR^n$ e funge lo stesso.
E' sufficiente prendere l'interno "relativo", cioè i punti che sono interni considerando lo "span affine" dell'insieme convesso su cui la funzione è definita.
Se si guarda l'argomentazione (standard, quasi obbligata) di anto_zoolander, si vede che non si usa tutto il potere che ci è dato dall'assumere che il punto sia interno. Provare per credere, basta prendere un segmento in $RR^n$ e funge lo stesso.
E' sufficiente prendere l'interno "relativo", cioè i punti che sono interni considerando lo "span affine" dell'insieme convesso su cui la funzione è definita.
Ciao fioravante
In questa dimostrazione non mi interessava andare per il sottile, però grazie dell’osservazione, ne farò tesoro.
In questa dimostrazione non mi interessava andare per il sottile, però grazie dell’osservazione, ne farò tesoro.