Mappe regolate

[dissonance]

Definizione: una funzione $f:[a,b]\toCC$ si dice regolata se è il limite uniforme di una funzione a scala (che definiamo rapidamente come una funzione costante a tratti). Chiamiamo $S$ l'insieme di queste funzioni, che è uno spazio vettoriale. Mettiamogli la norma uniforme (una funzione regolata è chiaramente limitata). Abbiamo ottenuto lo spazio delle funzioni Riemann-integrabili?

[gugo82]

No, perchè la funzione:

$f(x):=\{(0, ", se " x=a " oppure " x=b),(1/((x-a)^2(b-x)^2), ", se " a
è integrabile alla Riemann e non limitata.

Probabilmente la classe delle funzioni regolate è quella delle funzioni limitate ed integrabili secondo Riemann.

[dissonance]

"Gugo82":
Probabilmente la classe delle funzioni regolate è quella delle funzioni limitate ed integrabili secondo Riemann.

Benissimo! E' proprio questo che volevo sapere. Quindi uno potrebbe definire l'integrale di Riemann direttamente come limite di integrali di funzioni a scala, e lo spazio delle funzioni Riemann-integrabili come chiusura uniforme dello spazio delle funzioni a scala.
No, perché mi stavo chiedendo: come possiamo dimostrare velocemente che l'integrale di Lebesgue coincide con quello di Riemann per le funzioni integrabili nei due sensi? Questa mi pare una strada: se una funzione è limitata e R-integrabile, allora è limite uniforme [eccetera eccetera...], e sulle funzioni a scala i due integrali coincidono. E anche l'integrale di Lebesgue passa al limite con la convergenza uniforme, sugli intervalli limitati. Vabbé, una piccola osservazione.

[gugo82]

Eh, però dovresti dimostrarlo... Il mio era un auspicio, non un'affermazione circostanziata.