Mappe conformi
Ciao a tutti,
ho un enorme problema con l'analisi complessa ed in particolare con le mappe conformi.
La definizione mi è chiara, però quello che non riesco a capire è come fare praticamente a determinarne una.
Provo a spiegarmi meglio:
supponiamo di avere due insiemi A e B, e supponiamo di voler determinare una mappa conforme che mandi l'insieme A nell'insieme B. A parte alcuni casi elementari, come posso trovarla?
Ad esempio, se
[tex]A=\{ z\in C \mid 1< |z| <2 \} \backslash \{ z\in C \mid \Im(z)=0 , \Re(z)>0\}[/tex]
e
[tex]B=\text{rettangolo di vertici $0, \ln 2 , 2i\pi , \ln 2 + 2i\pi$}[/tex]
come determino la mappa conforme tra questi 2 insiemi?
Qualcuno ha suggerimenti che mi possano aiutare a capire come devo ragionare in generale per ottenere tale funzione?
Grazie mille a tutti per l'aiuto.
Ciao.
ho un enorme problema con l'analisi complessa ed in particolare con le mappe conformi.
La definizione mi è chiara, però quello che non riesco a capire è come fare praticamente a determinarne una.
Provo a spiegarmi meglio:
supponiamo di avere due insiemi A e B, e supponiamo di voler determinare una mappa conforme che mandi l'insieme A nell'insieme B. A parte alcuni casi elementari, come posso trovarla?
Ad esempio, se
[tex]A=\{ z\in C \mid 1< |z| <2 \} \backslash \{ z\in C \mid \Im(z)=0 , \Re(z)>0\}[/tex]
e
[tex]B=\text{rettangolo di vertici $0, \ln 2 , 2i\pi , \ln 2 + 2i\pi$}[/tex]
come determino la mappa conforme tra questi 2 insiemi?
Qualcuno ha suggerimenti che mi possano aiutare a capire come devo ragionare in generale per ottenere tale funzione?
Grazie mille a tutti per l'aiuto.
Ciao.
Risposte
Ti conviene sempre ragionare un po' sui disegni e pensare quale operazione matematica realizza la "deformazione" fisica della mappa. Ad esempio qui passi da un un rettangolo $B$ ad una corona circolare $A$: una funzione che fa passare da "figure lineari" a figure circolari è ad esempio [tex]$f(t)=r e^{it}$[/tex], con $r>0$ fissato, che ha come immagine un cerchio (per $0\le t\le 2\pi$). A questo punto dovrebbe essere chiaro cosa fare: l'altezza del rettangolo (che varia da $0$ a $2\pi$) fornisce la trasformazione in cerchio, mentre la base, che varia da $0$ a $\log 2$ deve essere tale che $r(0)=1$ e $r(\log 2)=2$. Risulta immediato che $r(s)=e^s$ e quindi la mappa conforme, dovendo essere $t=y$ e $s=x$ risulta
[tex]$f(z)=f(x+iy)=e^x\cdot e^{iy}=e^{x+iy}=e^z$[/tex]
da $B$ ad $A$. Per trovare il viceversa allora dovrai calcolare il logaritmo (e attenta alle limitazioni per l'insieme $A$ in cui devi escludere un segmento dell'asse $x$ positivo di estremi $(1,0)$ e $(2,0)$).
[tex]$f(z)=f(x+iy)=e^x\cdot e^{iy}=e^{x+iy}=e^z$[/tex]
da $B$ ad $A$. Per trovare il viceversa allora dovrai calcolare il logaritmo (e attenta alle limitazioni per l'insieme $A$ in cui devi escludere un segmento dell'asse $x$ positivo di estremi $(1,0)$ e $(2,0)$).
Grazie mille per la risposta, ora mi sembra più chiara la soluzione.
Ne approfitto per chiedervi ancora qualche spiegazione sulle mappe conformi.
Io ho il seguente insieme:
[tex]A=\{z \in C | |z|<1, \Im(z)>0\}[/tex]
che tramite una mappa conforme deve essere mandato nel disco unitario.
La prima trasformazione che viene fatta è mandare l'insieme A nel secondo quadrante. Successivamente viene mandato il secondo quadrante nel semipiano superiore e infine il semipiano superiore nel disco unitario.
Di questo esercizio ci sono due punti che non mi sono chiari.
1. La mappa conforme , per passare dall'insieme A al secondo quadrante è [tex]\frac{z-1}{z+1}[/tex]. Io non capisco come avrei dovuto ragionare per ottenere quella funzione. Mi hanno detto che devo tenere presenti che le tangenti in -1 ed 1 formano con l'asse reale un angolo di 90° e che quindi nell'immagine della mappa conforme devo avere un angolo retto. Nonostante il suggerimento, a me risulta ancora oscuro il perchè mi sarebbe dovuta venire in mente proprio quella funzione.
2. perchè la funzione che mi porta il semipiano superiore nel disco unitario è [tex]\frac{z-i}{z+i}[/tex]? Dovrebbe derivare dal Teorema della Mappa di Riemann, ma io non capisco come.
Scusate se magari faccio domande elementari, ma questo argomento mi risulta un pò ostico.
Grazie mille in ogni caso per l'aiuto.
Ne approfitto per chiedervi ancora qualche spiegazione sulle mappe conformi.
Io ho il seguente insieme:
[tex]A=\{z \in C | |z|<1, \Im(z)>0\}[/tex]
che tramite una mappa conforme deve essere mandato nel disco unitario.
La prima trasformazione che viene fatta è mandare l'insieme A nel secondo quadrante. Successivamente viene mandato il secondo quadrante nel semipiano superiore e infine il semipiano superiore nel disco unitario.
Di questo esercizio ci sono due punti che non mi sono chiari.
1. La mappa conforme , per passare dall'insieme A al secondo quadrante è [tex]\frac{z-1}{z+1}[/tex]. Io non capisco come avrei dovuto ragionare per ottenere quella funzione. Mi hanno detto che devo tenere presenti che le tangenti in -1 ed 1 formano con l'asse reale un angolo di 90° e che quindi nell'immagine della mappa conforme devo avere un angolo retto. Nonostante il suggerimento, a me risulta ancora oscuro il perchè mi sarebbe dovuta venire in mente proprio quella funzione.
2. perchè la funzione che mi porta il semipiano superiore nel disco unitario è [tex]\frac{z-i}{z+i}[/tex]? Dovrebbe derivare dal Teorema della Mappa di Riemann, ma io non capisco come.
Scusate se magari faccio domande elementari, ma questo argomento mi risulta un pò ostico.
Grazie mille in ogni caso per l'aiuto.
Scrivo qui perchè ho una domanda simile. Devo trovare un'applicazione del piano complesso in se stesso che mandi il rettangolo $-1<=Re(z)<=0; -1<=Im(z)<=1$ nella corona circolare $1<=|z|<=e^pi$
Seguendo il ragionamento di sopra ho $f(t)=re^(ipit)$ con $r>0$ e $-1<=t<=1$.
Per la base invece $r(-1)=e^pi$ e $r(0)=1$ e cioè $r(s)=e^(-pis)$
Quindi ottengo:
$f(z)=e^(-pix)e^(ipiy)=e^(-pi(x-iy))=e^(-pi\bar z)$ è corretto?
Grazie in anticipo
Seguendo il ragionamento di sopra ho $f(t)=re^(ipit)$ con $r>0$ e $-1<=t<=1$.
Per la base invece $r(-1)=e^pi$ e $r(0)=1$ e cioè $r(s)=e^(-pis)$
Quindi ottengo:
$f(z)=e^(-pix)e^(ipiy)=e^(-pi(x-iy))=e^(-pi\bar z)$ è corretto?
Grazie in anticipo
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