Mappa $1$-lipschitziana su un aperto "ciccione" di [0,1]

[Paolo902]

Problema (concorso di ammissione SISSA). Sia $f:[0,1] \to [0,1]$ una mappa continua e iniettiva e $A \subset [0,1]$ un aperto con
\[
A:= \bigcup_{i=1}^{\infty} (a_i,b_i).
\]

Si assuma che

[*:1r2sxsv0] se $x_1,x_2$ sono due punti in una componente connessa $(a_i,b_i)$ di $A$ allora
\[
\vert f(x_1)-f(x_2) \vert \le \vert x_1-x_2 \vert;
\][/*:m:1r2sxsv0]
[*:1r2sxsv0] $f([0,1]\setminus A)$ ha misura nulla (ndr: in questo senso $A$ è "ciccione" ).[/*:m:1r2sxsv0][/list:u:1r2sxsv0]

Mostrare che la disuguaglianza
\[
\vert f(x_1)-f(x_2) \vert \le \vert x_1-x_2 \vert
\]
vale per ogni $x_1,x_2 \in [0,1]$.

Alcune idee in spoiler.


Per assurdo, ammettiamo che esistano $x_1,x_2 \in [0,1]$ tali che
\[
\vert f(x_1)-f(x_2) \vert > \vert x_1-x_2 \vert.
\]

Per ipotesi, fissato $varepsilon>0$ esiste una successione di intervalli aperti $(s_k,t_k)$ (con $k \in \NN$) tali che
\[
f([0,1]\setminus A) \subseteq \bigcup_{k} (s_k,t_k)
\]
e
\[
\sum_{k} t_k-s_k <\varepsilon.
\]
(assumo la misura di Lebesgue su $[0,1]$ ma il testo non è chiaro... forse basta Peano-Jordan?).

Chiaramente, $x_1$ e $x_2$ non possono vivere nella stessa componente connessa di $A$. Ma adesso? Distinguo un po' di casi?

Devo considerare il caso in cui sia $x_1$ che $x_2$ stanno in A (ma in due componenti connesse distinte), il caso in cui uno sta in $A$ e l'altro no e il caso in cui entrambi stanno in $[0,1] \setminus A$. Qualche idea?

Devo tirare in ballo anche l'ipotesi di iniettività: a che mi può servire? Io ho anche pensato al teorema del punto fisso (servirà?).


Grazie in anticipo per l'aiuto.

[Paolo902]

Riporto su.

[Rigel1]

\(f\) è strettamente monotona (supponiamo crescente); fissati \(x_1 < x_2\) in \([0,1]\) abbiamo dunque che:
\[
\begin{align}
0 & < f(x_2) - f(x_1) = |f([x_1, x_2])| = |f([x_1, x_2]\cap A)| + |f([x_1, x_2]\setminus A)| = |f([x_1, x_2]\cap A)|
\\ & = \sum_i |f([x_1, x_2]\cap (a_i, b_i))| \leq \sum_i |[x_1, x_2]\cap (a_i, b_i)| = |[x_1, x_2]\cap A| \leq x_2 - x_1.
\end{align}
\]

PS: avevo inizialmente letto la seconda ipotesi come "\([0,1]\setminus A\) ha misura nulla", e avevo di conseguenza costruito il seguente controesempio (che lascio visto che può essere istruttivo).

Sia \(K\) il solito insieme di Cantor (che ha misura nulla), e \(A=[0,1]\setminus K\) il nostro aperto.
Consideriamo la funzione
\[ f(x) := \frac{x + c(x)}{2} , \]
dove \(c:[0,1]\to [0,1]\) è la scala di Cantor.
Questa funzione è continua e strettamente monotona crescente; inoltre, su ogni componente connessa di \(A\) (vale a dire su ogni intervallo aperto dove la funzione di Cantor è costante) si ha che \(f\) è \(1/2\)-Lipschitziana.
Sembrerebbe quindi che \(f\) soddisfi tutte le ipotesi, ma d'altra parte non è una funzione Lipschitziana.

[Paolo902]

Semplice e pulita.

Grazie mille per l'aiuto e anche per aver scritto l'utile controesempio: conoscevo l'insieme di Cantor ma non la scala di Cantor. Grazie.