Maniera più semplice per svolgere questo integrale?

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28 dic 2010, 10:42

$int1/(x^2+a^2)^(3/2)dx$

Ho provato per parti ma mi caccio in un labitinto infinito...( o probabilmente ho sbagliato a scegliere fattore finito e integrale)
Ci dovrebbe essere un metodo più banale o sbaglio?

Risposte

Lorin1

29 dic 2010, 19:41

"ciampax":
Mmmmm.... quasi quasi chiedo a Gugo se posso scrivere una discussione sulle funzione iperboliche, a meno che non ci sia già, per illustrarne le proprietà fondamentali e raffrontarle con quelle trigonometriche.

E sarebbe davvero una buona idea...

oGladiatore

29 dic 2010, 19:45

@ciampax: il 2x è quello che mancava secondo lorin per questo ho detto 2x...

adesso provo a svolgere l'integrale come dite voi che la curiosità è troppa!

Lorin1

29 dic 2010, 19:55

Se manca un "pezzo" per poter integrare con le formule classiche degli integrali, non lo si può far comparire così all'improvviso, questa era il senso dell'intervento di ciampax. Volendo si può utilizzare l'artificio di aggiungere e sottrarre 2x al numeratore, ma dipende sempre dal tipo di integrale, infatti è un ragionamento che non conviene sempre seguire.

oGladiatore

29 dic 2010, 20:06

"ciampax":
Clever, è la stessa che ho suggerito io inizialmente!

Comunque, con le funzioni iperboliche verrebbe: [tex]$x=a\sinh t$[/tex], da cui [tex]$dx=a\cosh t\ dt$[/tex] ed essendo [tex]$(x^2+a^2)^{3/2}=[a^2(\sinh^2 t+1)]^{3/2}=a^3(\cosh^2 t)^{3/2}=a^2\cosh^3 t$[/tex] l'integrale diventa

non dovrebbe essere: $a^(3)cosh^(3) t$ ???
facendo i calcoli forse ho fatto un errore, ma mi viene $a^3$

ciampax

29 dic 2010, 20:12

Scritto male, è $a^3$. Infatti poi semplificando resta $a^2$.

oGladiatore

29 dic 2010, 20:16

sisi, infatti nei passaggi successivi avevi scritto $a^3$
cmq si, la soluzione era ben diversa dalla mia.... orrori ho scritto....

oGladiatore

29 dic 2010, 20:37

Domanda:

"ciampax":

[tex]$=\frac{1}{a^2}\cdot\tanh t+c=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{\sinh t}{\cosh t}+c=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{x/a}{\sqrt{x^2/a^2+1}}+c$[/tex]

come fai a capire che $cosht = \sqrt((x^2)/(a^2)+1) $ ???

ciampax

29 dic 2010, 23:33

Per la "Regola fondamentale della trigonometria iperbolica" (anche se questa cosa non esiste!) si ha

[tex]$\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$[/tex]

Visto che avevamo posto [tex]$x=a\sinh t$[/tex] abbiamo pure

[tex]$\cosh t=\sqrt{1+\sinh^2 t}=\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}=\frac{1}{a}\sqrt{a^2+x^2}$[/tex]