Maniera più semplice per svolgere questo integrale?
$int1/(x^2+a^2)^(3/2)dx$
Ho provato per parti ma mi caccio in un labitinto infinito...( o probabilmente ho sbagliato a scegliere fattore finito e integrale)
Ci dovrebbe essere un metodo più banale o sbaglio?
Ho provato per parti ma mi caccio in un labitinto infinito...( o probabilmente ho sbagliato a scegliere fattore finito e integrale)
Ci dovrebbe essere un metodo più banale o sbaglio?
Risposte
Prova a porre $t=(x^2+a^2)^{1/2}$.
"ciampax":
Prova a porre $t=(x^2+a^2)^{1/2}$.
Grazie per l'indizio, dopo ci provo, ma più che il passaggio algebrico a me interessa capire la logica per arrivarci poi da solo....
Perchè ti è sovvenuta questa sostituzione?
Io tra le mie prove ho usato $t^2 = (x^2+a^2)^3$ e mi sono incartato....
qualcosa del tipo
$\int (x^2+a^2)^(-3/2) = 1/sqrt(x^2+a^2)$
$\int (x^2+a^2)^(-3/2) = 1/sqrt(x^2+a^2)$
"oGladiatore":
qualcosa del tipo
$\int (x^2+a^2)^(-3/2) = 1/sqrt(x^2+a^2)$
Attenzione! Manca la derivata rispetto a x.
quale derivata?
"oGladiatore":
qualcosa del tipo
$\int (x^2+a^2)^(-3/2) = 1/sqrt(x^2+a^2)$
Ci manca la derivata del radicando, cioè $2x$. Per fare il passaggio che hai riportato tu, dovrebbe essere:
$int (2xdx)/(x^2+a^2)^(3/2)$
@Max: diciamo che quando hai integrali in cui compaiono delle radici quadrate, la prima cosa da provare a fare è sostituirle con qualcosa in modo da provare a semplificare quello che hai. In generale però, la sostituzione più efficace in questi casi è la seguente $x=a\sinh t$ dove sostituisci la variabile di integrazione con il seno iperbolico... ma non so se conosci tali funzioni, quindi mi sono astenuto dal suggerirtelo.
$\int (x^2+a^2)^(-3/2) = (x^2+a^2)^(-3/2+1)/(-3/2+1) = 1/sqrt(x^2+a^2)$
io ho fatto questo...
io ho fatto questo...
"oGladiatore":
$\int (x^2+a^2)^(-3/2) = (x^2+a^2)^(-3/2+1)/(-3/2+1) = 1/sqrt(x^2+a^2)$
io ho fatto questo...
Ma infatti questo passaggio è sbagliato, come diceva Lorin: infatti quando derivi la funzione che hai scritto come primitiva salta fuori, per la regola di derivazione della funzione composta, anche la derivata di $x^2+a^2$ cioè $2x$, che invece manca.
"ciampax":
@Max: diciamo che quando hai integrali in cui compaiono delle radici quadrate, la prima cosa da provare a fare è sostituirle con qualcosa in modo da provare a semplificare quello che hai. In generale però, la sostituzione più efficace in questi casi è la seguente $x=a\sinh t$ dove sostituisci la variabile di integrazione con il seno iperbolico... ma non so se conosci tali funzioni, quindi mi sono astenuto dal suggerirtelo.
Domanda: Si studiano al primo anno le funzioni "goniometriche iperboliche"?! Perchè ho visto persone studiarle anche alla magistrale nel corso di analisi superiore, in modo generale, per poi riportarlo come caso particolare in $RR$.
"ciampax":
@Max: diciamo che quando hai integrali in cui compaiono delle radici quadrate, la prima cosa da provare a fare è sostituirle con qualcosa in modo da provare a semplificare quello che hai.
Qui ci vuole tanto allenamento e inventiva, e forse a me mancano entrambe le cose, difficilmente riesco a vedere e a capire ad occhio come si può successivamente semplificare un integrale
In generale però, la sostituzione più efficace in questi casi è la seguente $x=a\sinh t$ dove sostituisci la variabile di integrazione con il seno iperbolico... ma non so se conosci tali funzioni, quindi mi sono astenuto dal suggerirtelo.
Si le funzioni iperboliche le ho studiate, e anche questo tipo di sostituzioni (cosi come quelle con le funzioni trigonometriche nel caso in cui il segno tra a^2 e x^2 sia un meno) ma essendo passato un po di tempo(ho dtao analisi 1 l'anno scorso) mi sono un pochino arrugginito...
Grazie per le informazioni, sei stato chiarissimo.
hum ho capito quello che volete dire. Mi sono sempre basato su questa formula:
$\int (x^a) dx = (x^(a+1))/(a+1) + C $ con $a !=-1$
ora applicando questa formula non aggiungo alcuna derivata in questo caso dell'argomento. Mi ricordo che quando svolgevo questi esercizi il risultato era corretto con il libro.... avrò avuto sempre fortuna?
$\int (x^a) dx = (x^(a+1))/(a+1) + C $ con $a !=-1$
ora applicando questa formula non aggiungo alcuna derivata in questo caso dell'argomento. Mi ricordo che quando svolgevo questi esercizi il risultato era corretto con il libro.... avrò avuto sempre fortuna?
E questa è la formula di integrazione immediata per funzioni semplici, quando le funzioni sono composte (come per la derivazione $f(g(x)) => f'(g(x))*g'(x)$) bisogna aggiungere qualcosa.
@ Lorin: sinceramente, non ti so dire se siano "obbligatorie" o meno. Io, sinceramente, le reputo molto utili per calcolare integrali della forma $\sqrt{x^2-a^2},\ \sqrt{x^2+a^2}$ e di conseguenza le introduco nel corso di Analisi sin dalla parte iniziale sulla generalità delle funzioni. La loro definizione è semplice (dipendendo dagli esponenziali) e possono tornare utili in vari casi, come per esempio sviluppi di Taylor e numeri complessi (in un certo senso, se le funzioni trigonometriche sono quelle per gli angoli nel piano reale, quelle iperboliche sono quelle buone per il piano complesso, sotto certi punti di vista).
Ah ho capito...ti ringrazio allora...vedrò, appena ho un pò di tempo in mezzo a tutti questi esami, di poterci dare un occhiata...
Caspita non sapevo che fossi un docente.^^
Caspita non sapevo che fossi un docente.^^
Mmmmm.... quasi quasi chiedo a Gugo se posso scrivere una discussione sulle funzione iperboliche, a meno che non ci sia già, per illustrarne le proprietà fondamentali e raffrontarle con quelle trigonometriche.
la cosa mi ha incuriosito... ho provato a derivare il risultato dell'itegrale pe revdere se ritornava alla funzione originaria con esito negativo... ho l'impressione che quel sistema che aveva adoperato non vada bene (anche aggiungendo 2x al numeratore)..
@ oGladiatore: guarda che non puoi aggiungere 2x a numeratore a buffo! 
ciao a tutti
io propongo questa sostituzione:
$t^(2/3) = (x^2 + a^2) ^3$
da cui $t^(2/3) = (x^2 +a^2)^3$
si ha poi $x^2 =t^2 -a^2$
$x = (t^2 -a^2)^(1/2)$
$x' = t/sqrt( t^2 -a^2)$
l'integrale diventa una cosa tipo
$\int 1/sqrt( t^2 -a^2)$
non so se va bene
io propongo questa sostituzione:
$t^(2/3) = (x^2 + a^2) ^3$
da cui $t^(2/3) = (x^2 +a^2)^3$
si ha poi $x^2 =t^2 -a^2$
$x = (t^2 -a^2)^(1/2)$
$x' = t/sqrt( t^2 -a^2)$
l'integrale diventa una cosa tipo
$\int 1/sqrt( t^2 -a^2)$
non so se va bene
Clever, è la stessa che ho suggerito io inizialmente!
Comunque, con le funzioni iperboliche verrebbe: [tex]$x=a\sinh t$[/tex], da cui [tex]$dx=a\cosh t\ dt$[/tex] ed essendo [tex]$(x^2+a^2)^{3/2}=[a^2(\sinh^2 t+1)]^{3/2}=a^3(\cosh^2 t)^{3/2}=a^2\cosh^3 t$[/tex] l'integrale diventa
[tex]$\int\frac{a\cosh t}{a^3\cosh^3 t}\ dt=\frac{1}{a^2}\int\frac{dt}{\cosh^2 t}=$[/tex]
e qui uso il fatto che [tex]$(\tanh t)'=\frac{1}{\cosh^2 t}$[/tex] per cui
[tex]$=\frac{1}{a^2}\cdot\tanh t+c=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{\sinh t}{\cosh t}+c=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{x/a}{\sqrt{x^2/a^2+1}}+c$[/tex]
da cui la soluzione
[tex]$\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}\ dx=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+c$[/tex]
Comunque, con le funzioni iperboliche verrebbe: [tex]$x=a\sinh t$[/tex], da cui [tex]$dx=a\cosh t\ dt$[/tex] ed essendo [tex]$(x^2+a^2)^{3/2}=[a^2(\sinh^2 t+1)]^{3/2}=a^3(\cosh^2 t)^{3/2}=a^2\cosh^3 t$[/tex] l'integrale diventa
[tex]$\int\frac{a\cosh t}{a^3\cosh^3 t}\ dt=\frac{1}{a^2}\int\frac{dt}{\cosh^2 t}=$[/tex]
e qui uso il fatto che [tex]$(\tanh t)'=\frac{1}{\cosh^2 t}$[/tex] per cui
[tex]$=\frac{1}{a^2}\cdot\tanh t+c=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{\sinh t}{\cosh t}+c=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{x/a}{\sqrt{x^2/a^2+1}}+c$[/tex]
da cui la soluzione
[tex]$\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{3/2}}\ dx=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+c$[/tex]
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