Mancanza di traccia in $Lp(\Omega)$
Ciao,
io devo dimostrare che dato un dominio $\Omega$ limitato con bordo $C'$ , le funzioni $L^{p}(\Omega) $ non hanno traccia su $\partial \Omega$. Cioè che non esiste un operatore limitato e lineare T
$T: L^{p}(\Omega) \rightarrow L^{p}(\partial \Omega) $
tale che $ Tu=u|_{\partial \Omega} $ se u è in $C(\overline{\Omega}) \cap L^{p}(\Omega)$.
Se $\Omega$ è limitato ho l'inclusione tra gli spazi $L^{p}$, quindi posso trovare solo un caso particolare di funzione che non va bene in $L^{1}$...e per densità una funzione $C^{\infty} $ a supporto compatto in $\Omega$...
ma poi nn so come continuare...
Potete aiutarmi???
Vi ringrazio!!!!!!.....
io devo dimostrare che dato un dominio $\Omega$ limitato con bordo $C'$ , le funzioni $L^{p}(\Omega) $ non hanno traccia su $\partial \Omega$. Cioè che non esiste un operatore limitato e lineare T
$T: L^{p}(\Omega) \rightarrow L^{p}(\partial \Omega) $
tale che $ Tu=u|_{\partial \Omega} $ se u è in $C(\overline{\Omega}) \cap L^{p}(\Omega)$.
Se $\Omega$ è limitato ho l'inclusione tra gli spazi $L^{p}$, quindi posso trovare solo un caso particolare di funzione che non va bene in $L^{1}$...e per densità una funzione $C^{\infty} $ a supporto compatto in $\Omega$...
ma poi nn so come continuare...
Potete aiutarmi???
Vi ringrazio!!!!!!.....
Risposte
Un po' di euristica nel caso \(\Omega =]a,b[ \subset \mathbb{R}\).
Il caso generale credo si risolva più o meno con le stesse considerazioni, ma con un po' più di complicazioni formali.
Prendiamo una funzione \(u\) di \(C_c(\Omega)\); essa prenderà su \(\partial \Omega =\{ a,b\}\) il valore zero, i.e. \(u(a)= 0=u(b)\).
Ora, per \(n\in \mathbb{N}\) sufficientemente grande (cioè tale che il supporto di \(u\) sia tutto contenuto in \(]a+2^{-n},b-2^{-n}[\)), consideriamo la funzione \(u_n\) di classe \(C(\overline{\Omega})\) definita ponendo:
\[
u_n(x):= \begin{cases}
u(x) &\text{, se } a+2^{-n} \leq x\leq b-2^{-n} \\
n &\text{, se } a\leq x\leq a+2^{-(n+1)} \text{ o } b-2^{-(n+1)}\leq x\leq b \\
\text{lineare} &\text{, se } a+2^{-(n+1)}\leq x\leq a+2^{-n} \text{ o } b-2^{-n} \leq x\leq b+2^{-(n+1)}\; .
\end{cases}
\]
Chiaramente (fai un disegno e guarda i trapezi che si formano!
) si ha:
\[
\begin{split}
\| u_n-u\|_{1,\Omega} &\leq \frac{1}{2}\ (2^{-n}+2^{-(n+1)})\ n + \frac{1}{2}\ (2^{-n}+2^{-(n+1)})\ n\\
&= 3\ 2^{-(n+1)}\ n
\end{split}
\]
e l'ultimo membro tende a zero quando \(n\to \infty\); pertanto \(u_n\stackrel{L^1}{\to} u\).
D'altra parte, però, sul bordo si ha \(u_n(a) =n=u_n(b)\), dunque:
\[
u_n(a) -u(a)=n = u_n(b)-u(b)
\]
e perciò:
\[
\| u_n-u\|_{1,\partial \Omega} =|u_n(a) -u(a)|+|u_n(b)-u(b)|=2n \to +\infty\; .
\]
Questo importa subito che non può esistere una mappa lineare continua di \(T:L^1(\Omega)\to L^1(\partial \Omega)\) (nota che \(L^1(\partial \Omega) \) in questo caso è identificabile con \(\mathbb{R}^2\) dotato della norma \(|x_1|+|x_2|\)) che funga da operatore di traccia: infatti, se per assurdo esistesse una mappa siffatta, dovresti avere:
\[
\| Tv- Tu\|_{1,\partial \Omega}\leq C\ \| v-n\|_{1,\Omega}
\]
per ogni \(v,u\in L^1(\Omega)\) con \(C> 0\); quindi, prendendo \( u\in C_c(\Omega)\) e \(v=u_n\in C(\overline{\Omega})\) costruite come sopra, avresti \(\| u_n-u\|_{1,\partial \Omega} \to 0\); ma ciò è assurdo, in quanto abbiamo già fatto vedere che \(\| u_n-u\|_{1,\partial \Omega} \to +\infty\).
Il caso generale credo si risolva più o meno con le stesse considerazioni, ma con un po' più di complicazioni formali.
Prendiamo una funzione \(u\) di \(C_c(\Omega)\); essa prenderà su \(\partial \Omega =\{ a,b\}\) il valore zero, i.e. \(u(a)= 0=u(b)\).
Ora, per \(n\in \mathbb{N}\) sufficientemente grande (cioè tale che il supporto di \(u\) sia tutto contenuto in \(]a+2^{-n},b-2^{-n}[\)), consideriamo la funzione \(u_n\) di classe \(C(\overline{\Omega})\) definita ponendo:
\[
u_n(x):= \begin{cases}
u(x) &\text{, se } a+2^{-n} \leq x\leq b-2^{-n} \\
n &\text{, se } a\leq x\leq a+2^{-(n+1)} \text{ o } b-2^{-(n+1)}\leq x\leq b \\
\text{lineare} &\text{, se } a+2^{-(n+1)}\leq x\leq a+2^{-n} \text{ o } b-2^{-n} \leq x\leq b+2^{-(n+1)}\; .
\end{cases}
\]
Chiaramente (fai un disegno e guarda i trapezi che si formano!
) si ha:\[
\begin{split}
\| u_n-u\|_{1,\Omega} &\leq \frac{1}{2}\ (2^{-n}+2^{-(n+1)})\ n + \frac{1}{2}\ (2^{-n}+2^{-(n+1)})\ n\\
&= 3\ 2^{-(n+1)}\ n
\end{split}
\]
e l'ultimo membro tende a zero quando \(n\to \infty\); pertanto \(u_n\stackrel{L^1}{\to} u\).
D'altra parte, però, sul bordo si ha \(u_n(a) =n=u_n(b)\), dunque:
\[
u_n(a) -u(a)=n = u_n(b)-u(b)
\]
e perciò:
\[
\| u_n-u\|_{1,\partial \Omega} =|u_n(a) -u(a)|+|u_n(b)-u(b)|=2n \to +\infty\; .
\]
Questo importa subito che non può esistere una mappa lineare continua di \(T:L^1(\Omega)\to L^1(\partial \Omega)\) (nota che \(L^1(\partial \Omega) \) in questo caso è identificabile con \(\mathbb{R}^2\) dotato della norma \(|x_1|+|x_2|\)) che funga da operatore di traccia: infatti, se per assurdo esistesse una mappa siffatta, dovresti avere:
\[
\| Tv- Tu\|_{1,\partial \Omega}\leq C\ \| v-n\|_{1,\Omega}
\]
per ogni \(v,u\in L^1(\Omega)\) con \(C> 0\); quindi, prendendo \( u\in C_c(\Omega)\) e \(v=u_n\in C(\overline{\Omega})\) costruite come sopra, avresti \(\| u_n-u\|_{1,\partial \Omega} \to 0\); ma ciò è assurdo, in quanto abbiamo già fatto vedere che \(\| u_n-u\|_{1,\partial \Omega} \to +\infty\).
Scusa per il ritardo...Grazie mille per la risposta!!!!!!!!!.......=)....
Io ho cercato di farlo in generale...secondo te può essere corretto così: (naturalmente è una falsa riga della tua..=P..)
Sia $B$ una bolla di raggio R in $\mathbb{R}^N$, così ho dominio limitato e $C '$ , e $B_0$ una bolla concentrica di raggio $R-2^{-n/N}$ con n suff grande.
Sia $u \in L^p(\B_0) \cap C_0(B_0)$.
Prendo$ p=1$.
Pongo $ u_n $ tale che:
$u_n = u$ su$ B_0 $
$u_n = n $su $\partial B$
$u_n $lineare su$ B\backslashB_0$ (o in modo che $u_n$ sia continua su B).
Allora $u_n$ è in $L^p(B)$, infatti
$ || u|| _{L^p(B) } ^p= ||u|| _{L^p(B_0)}^p + || u|| _{L^p(B\backslash B_0)}^p \leq $
$ C + n \|B\backslash B_0\| $$\leq C + n \omega_n (R^N- (R-2^{-n/N})^N$
$ C + n n \omega_n (R^N- (R^N-2^{-n}) $$\leq C + n \omega_n 2^{-n} \rightarrow 0$ se $n \rightarrow \infty$
mentre
$ || u|| _{L^p(\partial B) } ^p = n |\partial B| \rightarrow \infty $ se $n \rightarrow \infty$
Da cui se esiste $T$ tale che $ || Tu|| _{L^p(\partialB) } ^p \leq C(|| u|| _{L^p(B) } ^p) $, allora facendo tedere n all'infinito avrei l'assurdo.
Cosa ne pensi?....ma per l'assurdo è necessario che guardo la stima $||T(u-u_n)||$???
Ti ringrazio..=)...
Io ho cercato di farlo in generale...secondo te può essere corretto così: (naturalmente è una falsa riga della tua..=P..)
Sia $B$ una bolla di raggio R in $\mathbb{R}^N$, così ho dominio limitato e $C '$ , e $B_0$ una bolla concentrica di raggio $R-2^{-n/N}$ con n suff grande.
Sia $u \in L^p(\B_0) \cap C_0(B_0)$.
Prendo$ p=1$.
Pongo $ u_n $ tale che:
$u_n = u$ su$ B_0 $
$u_n = n $su $\partial B$
$u_n $lineare su$ B\backslashB_0$ (o in modo che $u_n$ sia continua su B).
Allora $u_n$ è in $L^p(B)$, infatti
$ || u|| _{L^p(B) } ^p= ||u|| _{L^p(B_0)}^p + || u|| _{L^p(B\backslash B_0)}^p \leq $
$ C + n \|B\backslash B_0\| $$\leq C + n \omega_n (R^N- (R-2^{-n/N})^N$
$ C + n n \omega_n (R^N- (R^N-2^{-n}) $$\leq C + n \omega_n 2^{-n} \rightarrow 0$ se $n \rightarrow \infty$
mentre
$ || u|| _{L^p(\partial B) } ^p = n |\partial B| \rightarrow \infty $ se $n \rightarrow \infty$
Da cui se esiste $T$ tale che $ || Tu|| _{L^p(\partialB) } ^p \leq C(|| u|| _{L^p(B) } ^p) $, allora facendo tedere n all'infinito avrei l'assurdo.
Cosa ne pensi?....ma per l'assurdo è necessario che guardo la stima $||T(u-u_n)||$???
Ti ringrazio..=)...
Scusa ho detto una cavolata, la stima la devo guardare perchè suppongo T continuo...=P...
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