Maggiorazioni limiti due variabili
Salve ragazzi per l'ennesima volta mi servirebbe apprendere questo misterioso procedimento per verificare l'esistenza di limiti di funzioni a due variabili .Qualcuno può darmi una mano o almeno insegnarmi e illustrarmi come usare queste maggiorazioni?
Risposte
Fai un esempio di esercizio che ritieni ostico.
diciamo che quasi tutti gli esempi che ti posso fare sono incomprensibili o almeno non capisco determinai procedimenti. Ad esempio
$lim_(x,y->0,0)x^2/(sqrt(x^2+y^2))$ non capisco come faccia il mio libro ad arrivare a calcolare il $lim_(x,y->0,0)sqrt(x^2+y^2)$
inizierei da questa!!mi spiegate qualche procedimento o tecnica per capire ste maggiorazioni e come bisogna scegliere questo $\epsilon$ affinchè sia valida la definizione di limite
$lim_(x,y->0,0)x^2/(sqrt(x^2+y^2))$ non capisco come faccia il mio libro ad arrivare a calcolare il $lim_(x,y->0,0)sqrt(x^2+y^2)$
inizierei da questa!!mi spiegate qualche procedimento o tecnica per capire ste maggiorazioni e come bisogna scegliere questo $\epsilon$ affinchè sia valida la definizione di limite
Ok.
Innanzitutto bisogna farsi un'idea del limite. Per esempio, prendiamo i punti del tipo [tex]$(x,0)$[/tex] ed [tex]$(0,y)$[/tex] con [tex]$x,y\neq 0$[/tex]: calcolando la funzione [tex]$f(x,y):=\tfrac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] in tali punti si ottiene:
[tex]$f(x,0)=|x|$[/tex] ed [tex]$f(0,y)=0$[/tex]
ergo:
[tex]$\lim_{x\to 0} f(x,0)=0=\lim_{y\to 0} f(0,y)$[/tex];
conseguentemente parrebbe giusto supporre:
(*) [tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0$[/tex]...
Ora dimostriamo che la (*) è vera.
Dato che [tex]$0\leq f(x,y)$[/tex], è evidente che basta determinare una funzione [tex]$g(x,y)$[/tex] tale che [tex]$f(x,y)\leq g(x,y)$[/tex] e [tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y)=0$[/tex] per applicare il teorema dei carabinieri ed ottenere (*).
Cerchiamo di determinare una maggiorante [tex]$g(x,y)$[/tex] appropriata: l'idea che deve guidarci è cercare di eliminare ad ogni costo il denominatore, che dà fastidio. Dato che [tex]$x^2\leq x^2+y^2$[/tex] è evidente che per [tex]$(x,y)\neq (0,0)$[/tex]:
[tex]$f(x,y)\leq \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} =\sqrt{x^2+y^2}$[/tex];
se poniamo [tex]$g(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}$[/tex], si ha allora [tex]$f(x,y)\leq g(x,y)$[/tex] e però anche [tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y)=0$[/tex]. Conseguentemente la nostra strategia ha funzionato ed una semplice applicazione del teorema dei carabinieri importa:
[tex]$0\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y)=0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0$[/tex]
che è la (*).
Innanzitutto bisogna farsi un'idea del limite. Per esempio, prendiamo i punti del tipo [tex]$(x,0)$[/tex] ed [tex]$(0,y)$[/tex] con [tex]$x,y\neq 0$[/tex]: calcolando la funzione [tex]$f(x,y):=\tfrac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] in tali punti si ottiene:
[tex]$f(x,0)=|x|$[/tex] ed [tex]$f(0,y)=0$[/tex]
ergo:
[tex]$\lim_{x\to 0} f(x,0)=0=\lim_{y\to 0} f(0,y)$[/tex];
conseguentemente parrebbe giusto supporre:
(*) [tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0$[/tex]...
Ora dimostriamo che la (*) è vera.
Dato che [tex]$0\leq f(x,y)$[/tex], è evidente che basta determinare una funzione [tex]$g(x,y)$[/tex] tale che [tex]$f(x,y)\leq g(x,y)$[/tex] e [tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y)=0$[/tex] per applicare il teorema dei carabinieri ed ottenere (*).
Cerchiamo di determinare una maggiorante [tex]$g(x,y)$[/tex] appropriata: l'idea che deve guidarci è cercare di eliminare ad ogni costo il denominatore, che dà fastidio. Dato che [tex]$x^2\leq x^2+y^2$[/tex] è evidente che per [tex]$(x,y)\neq (0,0)$[/tex]:
[tex]$f(x,y)\leq \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} =\sqrt{x^2+y^2}$[/tex];
se poniamo [tex]$g(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}$[/tex], si ha allora [tex]$f(x,y)\leq g(x,y)$[/tex] e però anche [tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y)=0$[/tex]. Conseguentemente la nostra strategia ha funzionato ed una semplice applicazione del teorema dei carabinieri importa:
[tex]$0\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y)=0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0$[/tex]
che è la (*).
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