Maggiorazioni e minorazioni
Perchè $1/lnx>1/x$ e $e^(sinx)<=e$
Risposte
1) innanzitutto $ x > 0$, altrimenti il logaritmo non avrebbe senso. Inoltre, $x \ne 1$ perché uno $0$ al denominatore non lo vogliamo.
Per $ 0 < x < 1$ il logaritmo è negativo, mentre $x$ è positivo, quindi la tesi non vale. Resta da capire cosa succede per $x > 1$:
Visto che si tratta di quantità positive, possiamo moltiplicare senza cambiare il verso della disuguaglianza:
\[ \frac {1} {\ln x} > \frac {1} {x} \implies x > \ln x \]
E questo puoi facilmente verificare che è vero
2) $ \sin x \leq 1 $, quindi possiamo maggiorare $e^{\sin x} $ con $e$ come da tesi!
Per $ 0 < x < 1$ il logaritmo è negativo, mentre $x$ è positivo, quindi la tesi non vale. Resta da capire cosa succede per $x > 1$:
Visto che si tratta di quantità positive, possiamo moltiplicare senza cambiare il verso della disuguaglianza:
\[ \frac {1} {\ln x} > \frac {1} {x} \implies x > \ln x \]
E questo puoi facilmente verificare che è vero
2) $ \sin x \leq 1 $, quindi possiamo maggiorare $e^{\sin x} $ con $e$ come da tesi!
Grazie mille:)
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