Maggiorazioni con integrali
Ciao a tutti. Ho un problema con la seguente disuguaglianza. Non capisco perché valga.
$ \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\cos{t}|}{t}dt \geq \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\cos{t}|dt$.
Inoltre non che qualcuno mi sa dire se esistono delle condizioni che permettono di applicare questo tipo di maggiorazioni? Provo a spiegarmi meglio:
se ho un funzione monotona crescente posso maggiorare l'integrale definito in un dato modo, se la funzione è decrescente in quest altro.
$ \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\cos{t}|}{t}dt \geq \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\cos{t}|dt$.
Inoltre non che qualcuno mi sa dire se esistono delle condizioni che permettono di applicare questo tipo di maggiorazioni? Provo a spiegarmi meglio:
se ho un funzione monotona crescente posso maggiorare l'integrale definito in un dato modo, se la funzione è decrescente in quest altro.
Risposte
Il teorema in questi casi è solo uno:
se $aMonotonia dell'integrale).
A parole: le disuguaglianze si possono integrare membro a membro. (Per inciso, nota che questo NON vale per le derivate! Anche se $f(x)>=g(x)$ in tutto un intervallo, non è detto che $f'(x)>=g'(x)$. Questo è un altro caso in cui l'integrale è tuo amico, la derivata tua nemica. Fine dell'inciso.)
Nel tuo problema, è stata integrata membro a membro la disuguaglianza
$frac{|cos(t)|}{sqrt{(k+1)pi}} \le frac{|cos(t)|}{t}, \quad\quad t \in [kpi, (k+1)pi]$.
[EDIT]No, un attimo solo... Quella radice quadrata da dove spunta? Devo controllare.
se $a
A parole: le disuguaglianze si possono integrare membro a membro. (Per inciso, nota che questo NON vale per le derivate! Anche se $f(x)>=g(x)$ in tutto un intervallo, non è detto che $f'(x)>=g'(x)$. Questo è un altro caso in cui l'integrale è tuo amico, la derivata tua nemica. Fine dell'inciso.)
Nel tuo problema, è stata integrata membro a membro la disuguaglianza
$frac{|cos(t)|}{sqrt{(k+1)pi}} \le frac{|cos(t)|}{t}, \quad\quad t \in [kpi, (k+1)pi]$.
[EDIT]No, un attimo solo... Quella radice quadrata da dove spunta? Devo controllare.
Probabilmente mi sono spiegato male. Il mio problema era come avesse fatto a dedurre dal membro a sinistra del > quello a destra. Era una catena di maggiorazioni.
Però leggendo la tua risposta ho capito come ha ragionato, in effetti era una cretinata.
Grazie
Però leggendo la tua risposta ho capito come ha ragionato, in effetti era una cretinata.
Grazie
La cosa bella è che vale questa: $int_(kpi)^((k+1)pi) |cost|/t dt >= (int_(kpi)^((k+1)pi) |cost| dt )/((k+1)pi)$
e questa: $int_(kpi)^((k+1)pi) |cost|/t dt <= (int_(kpi)^((k+1)pi) |cost| dt) /(kpi)$
a seconda che ti serva maggiorare o minorare!
e questa: $int_(kpi)^((k+1)pi) |cost|/t dt <= (int_(kpi)^((k+1)pi) |cost| dt) /(kpi)$
a seconda che ti serva maggiorare o minorare!
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