Maggiorazione successione di funzioni

mazzy89-votailprof
devo maggiorare questa successione $|f_n(t)|=|(pit)/(n^2t^2+1)|$ in modo così da arrivare ad ottenere una costante.sicuramente è una funzione decrescente e limitata però non è pari e quindi questo non mi aiuta.se fosse stata pari la situazione sarebbe stata diversa.non saprei però con cosa maggiorarla.qualche idea?

Risposte
gugo82
La funzione dentro il valore assoluto è dispari e positiva in [tex]$[0,+\infty[$[/tex]; inoltre è continua ed infinitesima all'infinito in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], ergo essa ha massimo assoluto.
Quindi basta fare uno studio di funzione per determinare il massimo [tex]$M_n$[/tex] di [tex]$f_n$[/tex] in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] e, se la successione [tex]$(M_n)$[/tex] è limitata, allora [tex]$M=\sup_n M_n$[/tex] è un maggiorante buono per te.

Ora però vatti a coricare. :-D
'Notte.

mazzy89-votailprof
calcolando la derivata prima ottengo che il massimo è in corrispondenza di $1/n$ quindi poichè è una successione limitata posso maggiorare $(pit)/(1+n^2t^2)<=1/n$ per ogni $n in NN$

dissonance
Se il massimo è in corrispondenza di $1/n$ allora per ottenere il valore massimo che $frac{pi t}{1+n^2t^2}$ assume devi valutare quest'ultima espressione per $t=1/n$, direi.

mazzy89-votailprof
"dissonance":
Se il massimo è in corrispondenza di $1/n$ allora per ottenere il valore massimo che $frac{pi t}{1+n^2t^2}$ assume devi valutare quest'ultima espressione per $t=1/n$, direi.


cavolo ma dove ce l'ho la testa!!!mah...sarà il carnevale?!?!?!? :lol: :lol: :lol: :lol: .allora il massimo è $|frac{pi t}{1+n^2t^2}|<=pi/(2n)$

dissonance
Veramente hai dimostrato che $frac{pi t}{1+n^2t^2} \le pi/(2n)$, senza valore assoluto. Per $t$ negativo quella frazione è negativa e bisognerebbe verificare che non assume valori più piccoli di $-pi/(2n)$.

mazzy89-votailprof
"dissonance":
Veramente hai dimostrato che $frac{pi t}{1+n^2t^2} \le pi/(2n)$, senza valore assoluto. Per $t$ negativo quella frazione è negativa e bisognerebbe verificare che non assume valori più piccoli di $-pi/(2n)$.


quindi non ho trovato un maggiorante per la successione $|f_n(t)|$ bensi per la successione $f_n(t)$.quindi non mi resta di dimostrare che la successione non assume valori minori di $-pi/(2n)$ ed ho finito.giusto?

dissonance
Mi sembra di avere detto esattamente questo, no? A cosa ti servono altre conferme?

dissonance
Ah ecco ho capito cosa ti ha confuso, prima Gugo ha parlato di massimo assoluto in $[0, infty)$ e non di massimo e minimo in $(-infty, infty)$. E si, perché c'è da fare un piccolo argomento standard di simmetria per mostrare che la stima che hai appena trovato è in effetti valida anche per $|f_n(t)|$.

mazzy89-votailprof
"dissonance":
Ah ecco ho capito cosa ti ha confuso, prima Gugo ha parlato di massimo assoluto in $[0, infty)$ e non di massimo e minimo in $(-infty, infty)$. E si, perché c'è da fare un piccolo argomento standard di simmetria per mostrare che la stima che hai appena trovato è in effetti valida anche per $|f_n(t)|$.


ecco infatti hai centrato la questione.prima gugo aveva parlato di massimo assoluto e poi io l'ho calcolato e dato un risultato che non è di carattere generale ma vale solo in $[0,+oo)$.

edit:quindi devo ripetere lo stesso discorso nel caso $(-oo,0)$ esatto?

dissonance
Vabbè dai ma non ti impappinare su questa fesseria. Ogni $f_n$ è dispari, è positiva in $[0, infty)$ e assume valore massimo: $pi/(2n)$. Quindi in $(-infty, 0]$ $f_n$ è negativa e assume come valore minimo $-pi/(2n)$. Questo mi pare chiaro. Conclusione: per ogni $t \in (-infty, infty)$, si ha $-pi/(2n) le f_n(t) le pi/(2n)$. Fine.

mazzy89-votailprof
"dissonance":
Vabbè dai ma non ti impappinare su questa fesseria. Ogni $f_n$ è dispari, è positiva in $[0, infty)$ e assume valore massimo: $pi/(2n)$. Quindi in $(-infty, 0]$ $f_n$ è negativa e assume come valore minimo $-pi/(2n)$. Questo mi pare chiaro. Conclusione: per ogni $t \in (-infty, infty)$, si ha $-pi/(2n) le f_n(t) le pi/(2n)$. Fine.

grande dissonance.ti ringrazio tanto.

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