Maggiorazione del seno

marcoh1
Salve a tutti!!
Ho raccolto informazioni contrastanti su come maggiorare il seno in un intervallo illimitato:
il professore dice che in un illimitato, a differenza che in un limitato, non posso maggiorare il seno con la costante unitaria;
su alcuni esercizi invece negli illimitati viene posto il seno minore di uno e nei limitati vicino a zero viene posto minore di t ( della bisettrice), cosa che io ero solito fare in intervalli illimitati.
Spero sia stato chiaro, vi pregooooo rispondeteeeee l'esame incombe!
Grazie in anticipo!! :D :D :D

Risposte
Sk_Anonymous
Innanzitutto ciao.

"marcoh":
Salve a tutti!!
il professore dice che in un illimitato, a differenza che in un limitato, non posso maggiorare il seno con la costante unitaria


Boh...? Forse c'è stato un malinteso; se parliamo della funzione seno nel campo reale, non dovrebbero esserci dubbi sul fatto che valga $sinx<=1$, a prescindere dal fatto che l'intervallo di variabilità di $x$ sia, o non sia, limitato.

"marcoh":
su alcuni esercizi invece negli illimitati viene posto il seno minore di uno e nei limitati vicino a zero viene posto minore di t ( della bisettrice), cosa che io ero solito fare in intervalli illimitati.


Se il discorso è quello di maggiorare la funzione $sinx$ con una costante minore di uno per avere un'approssimazione più raffinata, allora bisogna effettuare qualche distinzione; due esempi di maggiorazioni di $sinx$ possono essere dati da

1) $sinx<=1 AAx in RR$
2)$sinx<=x AAx in [0,+oo)$

Supponiamo di considerare $sinx$, per esempio, sull'intervallo $(0,1/10)$; è evidente che, anche se i due modi di maggiorare la funzione risulterebbero validi, in questo caso il secondo modo risulterebbe essere più raffinato, nel senso che si avrebbe

$sinx<=1/10<1$

Ma se la stessa funzione venisse considerata sull'intervallo $(1,2)$, in considerazione del fatto che $2>pi/2$, in questo caso il modo più indicato per la maggiorazione sarebbe il primo, dato che col secondo si otterrebbe

$sinx<=2$

che è sicuramente una maggiorazione vera, ma eccessivamente grossolana.

Non so se io abbia "centrato" il problema e se i miei spunti ti potranno aiutare in qualche modo; spero di si.

Saluti.

marcoh1
Grazie mille!
Quindi posso dire che il seno (anche il coseno?) può sempre essere maggiorato dalla costante unitaria e, inoltre, può in alternativa essere maggiorato in qualsiasi intervallo con il suo argomento ( proprietà che non si estende al coseno e alla tangente, ma si estende ad esempio all'arcotangente).
Un altro dubbio:
In pratica io devo maggiorare successioni di funzioni; dunque se per esempio mi ritrovo a dover maggiorare l'arcotangente di nx su [0,+inf] devo distinguere i casi a seconda che x sia maggiore o minore di 1?
Ancora grazie!!
:D :D :D

Sk_Anonymous
"marcoh":
Quindi posso dire che il seno (anche il coseno?) può sempre essere maggiorato dalla costante unitaria...


Questo è sempre vero, sia per il seno che per il coseno, ma bisogna verificare che questo tipo di maggiorazione non sia, in certi contesti, più grossolano di altre maggiorazioni.

"marcoh":
... e, inoltre, può in alternativa essere maggiorato in qualsiasi intervallo con il suo argomento ( proprietà che non si estende al coseno e alla tangente, ma si estende ad esempio all'arcotangente).


No, non in qualsiasi intervallo reale, ma in qualsiasi intervallo in $[0,+oo)$, fatto salvo il discorso sulla convenienza nel modo di maggiorare.

"marcoh":

Un altro dubbio:
In pratica io devo maggiorare successioni di funzioni; dunque se per esempio mi ritrovo a dover maggiorare l'arcotangente di nx su [0,+inf] devo distinguere i casi a seconda che x sia maggiore o minore di 1?


Direi che, per $x in [0,pi/(2n)]$, la funzione $arctg(nx)$ (alludendo al ramo principale) si possa maggiorare in questo modo:

$arctg(nx)<=nx$

mentre, per $x in (pi/(2n),+oo)$ si potrebbe porre $arctg(nx)<=pi/2$.

Non è escluso, però, che possano esserci maggiorazioni più raffinate di quelle da me riportate.

Saluti.

marcoh1
Ti ringrazio veramente e ti chiedo scusa, ma adesso mi sorge un'altra domanda per quanto riguarda l'arcotangente!
Il fatto di operare due maggiorazioni diverse, per x vicina a zero e per x>0, deriva esclusivamente dal fatto che voglio, vicino a zero, trovare una migliore approssimazione di quella che è pi/2?
Pi/2 maggiora comunque l'arcotangente fra [0,+inf] seppur grossolanamente. Giusto?
Grazie ancora per la disponibiltà.

Sk_Anonymous
"marcoh":
Ti ringrazio veramente e ti chiedo scusa, ma adesso mi sorge un'altra domanda per quanto riguarda l'arcotangente!
Il fatto di operare due maggiorazioni diverse, per x vicina a zero e per x>0, deriva esclusivamente dal fatto che voglio, vicino a zero, trovare una migliore approssimazione di quella che è pi/2?
Pi/2 maggiora comunque l'arcotangente fra [0,+inf] seppur grossolanamente. Giusto?
Grazie ancora per la disponibiltà.


Precisamente.

Saluti.

marcoh1
Grazie davvero!
Alla prossima :)

Sk_Anonymous
Di nulla.

Lieto di essere stato utile.

Saluti.

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