Maggiorazione con i valori assoluti

[nuwanda1]

buongiorno a tutti... Sto svolgendo esercizi di analisi matematica in più variabili sulla continuità delle funzioni, e devo dimostrare che la funzione:

f(x,y,z)= (xz) / (1 + y^2)

è continua nel punto (1,1,1). L'esercizio è svolto e riesco a capire i passaggi, ed arriva alla fine a questo risultato:

|f(x,y,z)-f(1,1,1)| <= 2|x - 1| + |z - 1| / 2 + 3 |y - 1| <= 6 |(x,y,z) - (1,1,1)| , e da qui la continuità... Ecco il mio problema è che non riesco a capire l'ultima disuguaglianza: come faccio a unire i valori assoluti di (x-1), (z-1) e (y-1) in un'unica scrittura, visto che sono tre valori assoluti separati??? grazie mille in anticipo per la disponibilità...

[Rigel1]

$|x-1|^2 \le |x-1|^2 + |y-1|^2 + |z-1|^2 = |(x,y,z)-(1,1,1)|^2$; analogamente per $|y-1|$ e $|z-1|$.

[nuwanda1]

scusa... continuo a non capire... non mi sono chiare le proprietà del valore assoluto...
In particolare non mi è chiaro il passaggio

|x-1|+|y-1|+|z-1|=|(x,y,z)-(1,1,1)|

potresti spiegarmi questa uguaglianza?? grazie mille di nuovo

[Rigel1]

Chiamiamo $d = |(x,y,z)-(1,1,1)|$. Per quanto ti ho detto nel precedente post hai che
$|x-1| \le d$, $|y-1|\le d$, $|z-1|\le d$.
Quindi
$2 |x-1| + |z-1|/2 + 3 |y-1| \le 2 d + d/2 + 3 d = (5+1/2) d \le 6d$.

L'uguaglianza che hai scritto è in generale falsa.