Maggiorare un integrale definito
Il mio libro di Analisi enuncia il seguente risultato, senza giustificarlo (probabilmente deve essere evidente):
siano $f,g$ Riemann-integrabili su $[\alpha,\beta]$ e $|f(x)| <= g(x)$, per ogni $x\in[\alpha,\beta]$. Allora:
$|\int_a^b f| <= |\int_a^b (|f|)| <= |\int_a^b g| $
per ogni scelta dei numeri $a,b$ nell'intervallo $[\alpha,\beta]$.
Ho pensato che dato che $g(x) >= |f(x)|$, allora $g$ è una funzione sempre positiva. Ora, per funzioni solo positive in un intervallo $[\alpha,\beta]$, il valore dell'integrale è positivo. Questo non mi rende chiaro il senso degli ultimi due valori assoluti.
$\int_a^b |f|$ e $\int_a^b g$ non sono forse già positivi? Che senso ha farne il modulo?
E poi vorrei chiedervi se ci sia un modo di capire l'importanza di questo risultato.
Grazie molte.
siano $f,g$ Riemann-integrabili su $[\alpha,\beta]$ e $|f(x)| <= g(x)$, per ogni $x\in[\alpha,\beta]$. Allora:
$|\int_a^b f| <= |\int_a^b (|f|)| <= |\int_a^b g| $
per ogni scelta dei numeri $a,b$ nell'intervallo $[\alpha,\beta]$.
Ho pensato che dato che $g(x) >= |f(x)|$, allora $g$ è una funzione sempre positiva. Ora, per funzioni solo positive in un intervallo $[\alpha,\beta]$, il valore dell'integrale è positivo. Questo non mi rende chiaro il senso degli ultimi due valori assoluti.
$\int_a^b |f|$ e $\int_a^b g$ non sono forse già positivi? Che senso ha farne il modulo?
E poi vorrei chiedervi se ci sia un modo di capire l'importanza di questo risultato.
Grazie molte.
Risposte
Ciao. Per quanto riguarda il modulo, penso che questo sia utile dal momento che non si è specificato che $a
\[\int^a_b f=-\int^b_a f\leq 0\]
se $f$ è positiva.
Esempio: $f(x)=x^2\geq 0$ $\forall x$. Per il teorema fondamentale del calcolo
\[\int_0^1 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]^1_0=\dfrac{1}{3}\]
mentre
\[\int_1^0 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]^0_1=-\dfrac{1}{3}\]
Il succo è: se non si specifica la relazione tra gli estremi d'integrazione $a$ e $b$, non vale la proprietà
\[f(x)\geq 0 \implies \int^b_a f(x)\,dx \geq 0\]
Questo è vero se $a
Quanto all'importanza del risultato, ora non mi viene in mente niente
li ho studiati da un bel po gli integrali
La prima disuguaglianza $(\int f<\int|f|)$ l'ho incontrata in parecchie dimostrazioni, quindi penso sia utile per questo. La seconda è una delle proprietà dell'integrale di Riemann...non capisco perchè le abbia messe assieme...forse per risparmiare carta
\[\int^a_b f=-\int^b_a f\leq 0\]
se $f$ è positiva.
Esempio: $f(x)=x^2\geq 0$ $\forall x$. Per il teorema fondamentale del calcolo
\[\int_0^1 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]^1_0=\dfrac{1}{3}\]
mentre
\[\int_1^0 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]^0_1=-\dfrac{1}{3}\]
Il succo è: se non si specifica la relazione tra gli estremi d'integrazione $a$ e $b$, non vale la proprietà
\[f(x)\geq 0 \implies \int^b_a f(x)\,dx \geq 0\]
Questo è vero se $a
Quanto all'importanza del risultato, ora non mi viene in mente niente
li ho studiati da un bel po gli integrali La prima disuguaglianza $(\int f<\int|f|)$ l'ho incontrata in parecchie dimostrazioni, quindi penso sia utile per questo. La seconda è una delle proprietà dell'integrale di Riemann...non capisco perchè le abbia messe assieme...forse per risparmiare carta
Quando dici la seconda uguaglianza ti riferisci a
$ |int_a^b f| <= |int_a^b g| $ , con $|f(x)| <= g(x)$, $ AA x \in RR $ , giusto?
$ |int_a^b f| <= |int_a^b g| $ , con $|f(x)| <= g(x)$, $ AA x \in RR $ , giusto?
Si scusami volevo dire DISuguaglianza pardon...
pardon...
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