Maggioranti e minoranti
Oggi il nostro professore di matematica ci ha detto che le approssimazione di \(\displaystyle \sqrt2 \) formano due successioni, una detta maggiorante ed una detta minorante.
\(\displaystyle 1<\sqrt2<2 \), \(\displaystyle 1,4<\sqrt2<1,5 \), \(\displaystyle 1,41<\sqrt2<1,42 \) ecc.
La prima successione è quindi \(\displaystyle 1; 1,4 ; 1,41.... \) detta minorante e \(\displaystyle 2; 1,5 ; 1,42... \) detta maggiorante. Esse convergono a \(\displaystyle \sqrt 2 \). Come si dimostra la convergenza?
\(\displaystyle 1<\sqrt2<2 \), \(\displaystyle 1,4<\sqrt2<1,5 \), \(\displaystyle 1,41<\sqrt2<1,42 \) ecc.
La prima successione è quindi \(\displaystyle 1; 1,4 ; 1,41.... \) detta minorante e \(\displaystyle 2; 1,5 ; 1,42... \) detta maggiorante. Esse convergono a \(\displaystyle \sqrt 2 \). Come si dimostra la convergenza?
Risposte
Il problema, a questo punto, non è tanto come si dimostra la convergenza ma come si ottengono le due successioni.
Una volta chiarito con quale algoritmo generi le due successioni approssimanti, provare la convergenza diventa il problema da affrontare.
Se vuoi sapere la mia, le due successioni approssimanti si generano usando l'algoritmo per il calcolo della radice quadrata che si studiava alle scuole medie.
Una volta chiarito con quale algoritmo generi le due successioni approssimanti, provare la convergenza diventa il problema da affrontare.
Se vuoi sapere la mia, le due successioni approssimanti si generano usando l'algoritmo per il calcolo della radice quadrata che si studiava alle scuole medie.
Sì, l'algoritmo è quello, mi interessava capire come scrivere il limite delle successioni, se ho ben capito servono i limiti per dimostrare la convergenza.
Come ti ho detto: scrivi esplicitamente l'algoritmo.
Un algoritmo come quello dell'estrazione di radice, di solito, porta a definire successioni per ricorrenza tramite una legge più o meno esplicita.
Una volta scritto tutto in maniera sensata, la questione della convergenza si dovrebbe accomodare in maniera semplice operando sulla ricorrenza.
Un algoritmo come quello dell'estrazione di radice, di solito, porta a definire successioni per ricorrenza tramite una legge più o meno esplicita.
Una volta scritto tutto in maniera sensata, la questione della convergenza si dovrebbe accomodare in maniera semplice operando sulla ricorrenza.
Adesso credo di aver trovato una soluzione 
.
Definiamo la successione dei maggioranti come \(\displaystyle a_n \), la successione dei minoranti come \(\displaystyle b_n \). Notiamo che \(\displaystyle b_n<\sqrt 2
Definiamo \(\displaystyle d_n=a_n-b_n \), scriviamo qualche valore: \(\displaystyle 1;0,1;0,01;0,001;... \). Dimostriamo che \(\displaystyle d_n=\frac{1}{10^{n-1}} \). Ma questo segue dal fatto che i termini delle due successioni differiscono soltanto nell'ultima cifra, dove si approssima per difetto e per eccesso.
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}a_n-b_n =\lim_{x \to \infty}\frac{1}{10^{n-1}}=0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty}a_n=\lim_{x \to \infty}b_n\).
Ma allora \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}b_n \leq \sqrt 2 \leq \lim_{x \to \infty}a_n=\lim_{x \to \infty}b_n\ \), e le disuguaglianze diventano uguaglianze.
Invece, come si potrebbe definire le successioni con l'algoritmo?
.Definiamo la successione dei maggioranti come \(\displaystyle a_n \), la successione dei minoranti come \(\displaystyle b_n \). Notiamo che \(\displaystyle b_n<\sqrt 2
Definiamo \(\displaystyle d_n=a_n-b_n \), scriviamo qualche valore: \(\displaystyle 1;0,1;0,01;0,001;... \). Dimostriamo che \(\displaystyle d_n=\frac{1}{10^{n-1}} \). Ma questo segue dal fatto che i termini delle due successioni differiscono soltanto nell'ultima cifra, dove si approssima per difetto e per eccesso.
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}a_n-b_n =\lim_{x \to \infty}\frac{1}{10^{n-1}}=0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty}a_n=\lim_{x \to \infty}b_n\).
Ma allora \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}b_n \leq \sqrt 2 \leq \lim_{x \to \infty}a_n=\lim_{x \to \infty}b_n\ \), e le disuguaglianze diventano uguaglianze.
Invece, come si potrebbe definire le successioni con l'algoritmo?
"giannirecanati":
Per dimostrare la prima uguaglianza possiamo fare così: \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}a_n-\lim_{x \to \infty}b_n=0 \)
se sei sicuro di questo, non ti serve altro: concludi subito coi carabinieri.
mi sembrava che il tuo problema fosse appunto dimostrare quello, visto che effettivamente tu "non sai" quali siano le due successioni.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo