Maggiorante e minorante serie
Ciao, amici!
Sto cercando di dimostrare che $\pi/(8-\pi) <= \sum_{k=1}^oo (1/2arctg k)^k <= \pi/(4-\pi)$, come proposto da un esercizio del libro che sto studiando, che però non dà suggerimenti espliciti su come risolvere problemi del genere.
Mi viene da pensare che, per casi del tipo $b <= \sum_{k=k_0}^n a_k <= c$ e anche $b < \sum_{k=k_0}^n a_k < c$ si possa sfruttare il fatto che, se f è decrescente, $\int_{k_0+1}^{n+1} f(x)dx <= \sum_{k=k_0+1}^n a_k <= \int_{k_0}^{n} f(x)dx$, ma non so se ci siano altri metodi... anche perché non saprei proprio come fare ad integrare $(1/2arctg x)^x$, che sembra difficilino persino per il mio computer: ho provato, sperando di non avere sbagliato io a digitare qualcosa, con SciLab, Octave e con Wolfram on-line integrator...
Qualcuno ha consigli e "dritte" da dare?
Una serie di grazie divergente positiva a tutti!
Ciao,
Davide
Sto cercando di dimostrare che $\pi/(8-\pi) <= \sum_{k=1}^oo (1/2arctg k)^k <= \pi/(4-\pi)$, come proposto da un esercizio del libro che sto studiando, che però non dà suggerimenti espliciti su come risolvere problemi del genere.
Mi viene da pensare che, per casi del tipo $b <= \sum_{k=k_0}^n a_k <= c$ e anche $b < \sum_{k=k_0}^n a_k < c$ si possa sfruttare il fatto che, se f è decrescente, $\int_{k_0+1}^{n+1} f(x)dx <= \sum_{k=k_0+1}^n a_k <= \int_{k_0}^{n} f(x)dx$, ma non so se ci siano altri metodi... anche perché non saprei proprio come fare ad integrare $(1/2arctg x)^x$, che sembra difficilino persino per il mio computer: ho provato, sperando di non avere sbagliato io a digitare qualcosa, con SciLab, Octave e con Wolfram on-line integrator...
Qualcuno ha consigli e "dritte" da dare?
Una serie di grazie divergente positiva a tutti!
Ciao,
Davide
Risposte
Come si maggiora/minora [tex]$\arctan x$[/tex] se [tex]$x\geq 1$[/tex]?
Risposto a questo hai finito.
Risposto a questo hai finito.
Ciao, Gugo! Grazie dei tuoi suggerimenti preziosi come sempre!
Direi che, naturalmente, $\pi/4 <= arctanx < \pi/2$, e anche -se serve a questo caso- $\pi/8 <= 1/2arctanx < \pi/4$, se $x>=1$, ma non mi è chiaro come da questo si dimostri che $\pi/(8-\pi) <= \sum_{k=1}^oo (1/2arctg k)^k <= \pi/(4-\pi)$...
Purtroppo il mio testo non propone esempi con troppe analogie a quelle degli esercizi in cui si devono dimostrare maggiorazioni e minorazioni del tipo $b <= \sum_{k=k_0}^n a_k <= c$ e $b < \sum_{k=k_0}^n a_k < c$, quindi mi sono trovato piuttosto spaesato...
Grazie ancora di cuore!
Direi che, naturalmente, $\pi/4 <= arctanx < \pi/2$, e anche -se serve a questo caso- $\pi/8 <= 1/2arctanx < \pi/4$, se $x>=1$, ma non mi è chiaro come da questo si dimostri che $\pi/(8-\pi) <= \sum_{k=1}^oo (1/2arctg k)^k <= \pi/(4-\pi)$...
Purtroppo il mio testo non propone esempi con troppe analogie a quelle degli esercizi in cui si devono dimostrare maggiorazioni e minorazioni del tipo $b <= \sum_{k=k_0}^n a_k <= c$ e $b < \sum_{k=k_0}^n a_k < c$, quindi mi sono trovato piuttosto spaesato...
Grazie ancora di cuore!
$\sum_{k=1}^{\infty} q^k = \frac{q}{1-q}$ se $|q| < 1$.
Grazie di cuore anche a te, Rigel! Sapevo che $|q|<1 => \sum_{k=0}^oo q^k = 1/(1-q)$, e quindi $\sum_{k=1}^oo q^k = 1/(1-q) -q^0$, ma non ci avevo pensato per risolvere questo problema! Bellissimi questi esercizio di maggiorazione e minorazione di serie!
Grazie infinite a tutti!!!
Grazie infinite a tutti!!!
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