Maggiorante di una successione
Cari ragazzi. Chiedo a voi se la successione $g_n(x)=\frac{3}{1+\sqrt{n}x^2}$ domina (nel senso che è maggiorante) la successione $f_n(x)=e^{-nx^4}$.
Risposte
Dimenticavo. Vi chiedo se la successione è maggiorante da un certo n in poi. Questo perché devo applicare il teorema del confronto (o dei due carabinieri)..
Mi confermate allora che la successione è maggiorante?
Non ho mai incontrato la nozione di successione di funzioni maggiorante... A cosa ti serve, per curiosità?
Ops. Devo dire che la successione $f_n$ sta sempre sotto l'altra. Devo dimostrare che il limite al divergere di $n$ dell'integrale delle $g_n$ su tutto $\mathbb{R}$ è 0 per arrivare a dire che anche il limite dell'integrale di $f_n$ è zero.
@Aleflymate: Hai fatto qualche considerazione da solo o aspetti una risposta da noi?
A scanso di equivoci, ti rimando alla lettura del regolamento (cfr. 1.2-1.5) e di questo avviso.
A scanso di equivoci, ti rimando alla lettura del regolamento (cfr. 1.2-1.5) e di questo avviso.
Ho chiesto se le mie considerazioni sono giuste. Volevo conferma su quella presunta successione maggiorante..
Scusa, ma di quali considerazioni dovremmo dare conferma?
Non vedo alcuna considerazione che riguardi il problema qui:
o qui:
ne` tanto meno qui:
Quindi?...
Non vedo alcuna considerazione che riguardi il problema qui:
"Aleflymate":
Cari ragazzi. Chiedo a voi se la successione $g_n(x)=\frac{3}{1+\sqrt{n}x^2}$ domina (nel senso che è maggiorante) la successione $f_n(x)=e^{-nx^4}$.
o qui:
"Aleflymate":
Dimenticavo. Vi chiedo se la successione è maggiorante da un certo n in poi. Questo perché devo applicare il teorema del confronto (o dei due carabinieri)..
ne` tanto meno qui:
"Aleflymate":
Ops. Devo dire che la successione $f_n$ sta sempre sotto l'altra. Devo dimostrare che il limite al divergere di $n$ dell'integrale delle $g_n$ su tutto $\mathbb{R}$ è 0 per arrivare a dire che anche il limite dell'integrale di $f_n$ è zero.
Quindi?...
Forse mi sono spiegato male Cerco una successione che domini $f_n$. Ho proposto io la successione, mi sembra di aver conribuito.
Devo dimostrare che il limite al divergere di $n$ delle $f_n$ è 0 e per far questo ho proposto io una successione $g_n$ maggiorante il cui integrale tende a 0 al divergere di $n$. Questo perché non devo ricorrere all'integrazione per serie ecc..
Devo dimostrare che il limite al divergere di $n$ delle $f_n$ è 0 e per far questo ho proposto io una successione $g_n$ maggiorante il cui integrale tende a 0 al divergere di $n$. Questo perché non devo ricorrere all'integrazione per serie ecc..
"Aleflymate":
Forse mi sono spiegato male Cerco una successione che domini $f_n$. Ho proposto io la successione, mi sembra di aver conribuito.
Da come hai posto la domanda sembrava che la successione $g_n$ fosse assegnata dal testo...
Ad ogni modo, visto che la $g_n$ l`hai determinata tu e dato che non credo tu abbia tirato ad indovinare (sparando una successione a caso), credo che tu abbia fatto qualche considerazione (almeno un po`) profonda sull`esercizio... Prova a condividere anche queste.
"Aleflymate":
Devo dimostrare che il limite al divergere di $n$ delle $f_n$ è 0 e per far questo ho proposto io una successione $g_n$ maggiorante il cui integrale tende a 0 al divergere di $n$. Questo perché non devo ricorrere all'integrazione per serie ecc..
Beh, per dimostrare che $\lim_{n\to \infty} f_n(x)=0$ per gli $x in RR$ non serve tutto questo sbattimento, no?
Probabilmente devi fare altro (tiro ad indovinare: vuoi applicare il teorema di convergenza dominata al calcolo di qualche integrale?), ma non ti sei preso la briga di scrivere tutto il problema...
Non devo applicare nessun teorema. Il teorema mi serve solo per convalidare quanto ottenuto con i calcoli.
Devo solamente dimostrare, senza teoremi e integrazione per serie ecc, che il limite al divergere di $n$ delle $f_n$ è 0. Io ho proposto questa strada. La successione $g_n$ sembra maggiorare la $f_n$ e questo l'ho verificato graficamente. Ma non sono sicuro di aver imboccato la strada giusta visto che mi hanno detto che non ha senso forse parlare di successioni di funzioni maggioranti.
Ho calcolato l'integrale su tutto $\mathbb{R}$ dele $g-n$ e questo sembra veramente convergere a zero. Volevo una conferma. Il mio ragionamento ha senso?
Devo solamente dimostrare, senza teoremi e integrazione per serie ecc, che il limite al divergere di $n$ delle $f_n$ è 0. Io ho proposto questa strada. La successione $g_n$ sembra maggiorare la $f_n$ e questo l'ho verificato graficamente. Ma non sono sicuro di aver imboccato la strada giusta visto che mi hanno detto che non ha senso forse parlare di successioni di funzioni maggioranti.
Ho calcolato l'integrale su tutto $\mathbb{R}$ dele $g-n$ e questo sembra veramente convergere a zero. Volevo una conferma. Il mio ragionamento ha senso?
Per stabilire che \(\lim_{n\to \infty} e^{-nx^4} =0\) per \(x\neq 0\) non c`e` bisogno di alcuna maggiorazione: infatti, dato che \(x^4>0\) si ha \(-nx^4<0\) e \(\lim_{n\to \infty} -nx^4 =-\infty\) ed il risultato segue dal teorema sul limit delle funzioni composte.
Le cose pero` cambiano se \(x=0\), no?
Per quanto riguarda la successione di termine generale \(I_n:=\int_{-\infty}^{\infty} g_n(x)\ \text{d} x\), si ha:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} g_n(x)\ \text{d} x =2\int_0^{\infty} g_n(x)\ \text{d} x =6 \left[ \frac{1}{\sqrt[4]{n}}\ \arctan (\sqrt[4]{n} x)\right]_0^\infty =\frac{3\pi}{\sqrt[4]{n}}
\]
ed il fatto che \(I_n\to 0\) segue immediatamente.
Le cose pero` cambiano se \(x=0\), no?
Per quanto riguarda la successione di termine generale \(I_n:=\int_{-\infty}^{\infty} g_n(x)\ \text{d} x\), si ha:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} g_n(x)\ \text{d} x =2\int_0^{\infty} g_n(x)\ \text{d} x =6 \left[ \frac{1}{\sqrt[4]{n}}\ \arctan (\sqrt[4]{n} x)\right]_0^\infty =\frac{3\pi}{\sqrt[4]{n}}
\]
ed il fatto che \(I_n\to 0\) segue immediatamente.
Scusa ho sbagliato a scrivere. Devo dimostrare che il limite al divergere di $n$ dell'integrale delle $f_n$ è zero, non che il limite delle $f_n$ è zero. Per questo ho cercato la maggiorante..
Sul calcolo dell'integrale ci sono. Volevo solo sapere se la strada imboccata da me è giusta.. E' corretto il ragionamento?
"Aleflymate":
Scusa ho sbagliato a scrivere. Devo dimostrare che il limite al divergere di $n$ dell'integrale delle $f_n$ è zero, non che il limite delle $f_n$ è zero.
Bene, come volevasi dimostrare.
E dire che ti avevo anche messo una pulce nell`orecchio, parlandoti di integrali...
Dato che non ho tempo da perdere dietro a chi sbaglia reiteratamente a scrivere il testo di un esercizio, smetto di intervenire.
Buona fortuna.
Simpatia.. Che tolleranza. Eheh
"Aleflymate":
Cari ragazzi. Chiedo a voi se la successione $g_n(x)=\frac{3}{1+\sqrt{n}x^2}$ domina (nel senso che è maggiorante) la successione $f_n(x)=e^{-nx^4}$.
Ciao .
La disuguaglianza $ f_n(x) <= g_n(x) $ è giusta per $ x in \RR $ e $ n in \NN $
Difatti , abbiamo $ e^(nx^4) >= 1 + n x^4 $ e $ 1 + n x^4 >= \frac{1}{3} ( 1 + \sqrt(n) x^2 ) $
dunque $ e^(nx^4) >= \frac{1}{3} ( 1 + \sqrt(n) x^2 ) $ e cosi $ e^(-nx^4) <= \frac{3}{1+\sqrt{n}x^2} $
Comunque noto che anche tu sei poco attento!
Perché il testo l'ho scritto anche prima, quindi se avessi letto attentamete avresti capito che si parlava di limite dell'integrale della successione e non di limite della successione..
Perché il testo l'ho scritto anche prima, quindi se avessi letto attentamete avresti capito che si parlava di limite dell'integrale della successione e non di limite della successione..
[xdom="gugo82"]La tolleranza finisce presto se costringi gli utenti volenterosi a perdere ore intere dietro un esercizio con testo errato e/o riportato in maniera incomprensibile.
Dato che eri gia` stato richiamato al rispetto delle norme di netiquette presenti in questo avviso (il quinto punto recita: Assicuratevi di aver scritto correttamente il testo di esercizi e teoremi che proponete) e visto che hai palesemente ignorato tale richiamo, chiudo.[/xdom]
Dato che eri gia` stato richiamato al rispetto delle norme di netiquette presenti in questo avviso (il quinto punto recita: Assicuratevi di aver scritto correttamente il testo di esercizi e teoremi che proponete) e visto che hai palesemente ignorato tale richiamo, chiudo.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo