Ma davvero $RRsubsetCC$?
Stavo pensando...
ma piuttosto che essere $RRsubsetCC$
Non è che $RR$ sia isomorfo al sottocampo dei complessi con seconda entrata nulla?
Qual è il senso, a questo punto, di dire che esso è un sottoinsieme?
Forse perché oltre che essere isomorfo gode delle stesse identiche proprietà?
ma piuttosto che essere $RRsubsetCC$
Non è che $RR$ sia isomorfo al sottocampo dei complessi con seconda entrata nulla?
Qual è il senso, a questo punto, di dire che esso è un sottoinsieme?
Forse perché oltre che essere isomorfo gode delle stesse identiche proprietà?
Risposte
Per come l’hanno insegnata a me è la seconda che dici. Cioè $CC$ contiene una copia isomorfa di $RR$ e così per la relazione tra $RR$ e $QQ$ ecc...
Aspetterei qualcuno di più esperto!
Aspetterei qualcuno di più esperto!
Si lo stesso vale per tutti gli altri insiemi, suppongo.
Il problema è perché non parlare di immersione, invece di sottoinsieme.
Certo andare a spiegare ad un liceale cosa sia una immersione è un po’ un problema, ma nemmeno rifilare cose “sbagliate” penso che sia molto virtuoso.
Il problema è perché non parlare di immersione, invece di sottoinsieme.
Certo andare a spiegare ad un liceale cosa sia una immersione è un po’ un problema, ma nemmeno rifilare cose “sbagliate” penso che sia molto virtuoso.
Mah secondo me ci sono un sacco di situazioni in cui le esigenze della didattica vengono anteposte alla “logica formale” degli argomenti.
Anche all’università se si volesse fare tutto per benino, secondo me, bisognerebbe fare un sacco di logica e teoria degli insiemi, poi topologia e poi analisi. Ma dal punto di vista didattico credo che sarebbe un suicidio.
Per esempio, per spiegare per bene il fatto che “$QQ \subset RR$” a un liceale bisognerebbe spiegare prima cosa sono una relazione di equivalenza e un insieme quoziente, cosa che secondo me non è fattibile.
Anche all’università se si volesse fare tutto per benino, secondo me, bisognerebbe fare un sacco di logica e teoria degli insiemi, poi topologia e poi analisi. Ma dal punto di vista didattico credo che sarebbe un suicidio.
Per esempio, per spiegare per bene il fatto che “$QQ \subset RR$” a un liceale bisognerebbe spiegare prima cosa sono una relazione di equivalenza e un insieme quoziente, cosa che secondo me non è fattibile.
Dimmi un motivo per distinguere oggetti isomorfi 
"killing_buddha":
Dimmi un motivo per distinguere oggetti isomorfi
Un motivo potrebbe essere, a mio avviso, la confusione che salta fuori (diverse discussioni a tal proposito nella stanza delle secondarie), quando si definiscono, diversamente sui due insiemi, operatori con il medesimo simbolo; ad esempio:
$ sqrt(4)=2 \ne sqrt(4+0i)=+-(2+0i) $
Ciao
"orsoulx":
[quote="killing_buddha"]Dimmi un motivo per distinguere oggetti isomorfi
Un motivo potrebbe essere, a mio avviso, la confusione che salta fuori (diverse discussioni a tal proposito nella stanza delle secondarie), quando si definiscono, diversamente sui due insiemi, operatori con il medesimo simbolo; ad esempio:
$ sqrt(4)=2 \ne sqrt(4+0i)=+-(2+0i) $
Ciao[/quote]
Infatti la radice quadrata di 4 mica è 2. La radice quadrata di 4 è l'insieme $\{\pm 2\}$.
"killing_buddha":Se tu la defisci così nulla da eccepire. Il problema è che nelle secondarie viene definita come la restrizione ai soli [strike]positivi[/strike] non negativi. Tant'è che $ |x|=sqrt(x^2) $.
Infatti la radice quadrata di 4 mica è 2. La radice quadrata di 4 è l'insieme ${±2}$.
Ciao
Il problema è nelle scuole secondarie, ovviamente. E' matematica, mica diritto.
E' matematica, mica diritto.
Va bene che parliamo di isomorfismi, ma parlo di inclusione insiemistica. Ovvero dire proprio che $RRsubsetCC$ non sarebbe meglio dire che si tratta di una immersione?
Scusate un attimo... ma $sqrt(4)=-2$(?)
Scusate un attimo... ma $sqrt(4)=-2$(?)
Mi spiace, ma insisto, il problema è di definizione. Prova a dire a qualche studente (o professore) di analisi che $ y=sqrt x $ non è una funzione dai reali non negativi ai reali non negativi.
Ciao
Ciao
"anto_zoolander":
Va bene che parliamo di isomorfismi, ma parlo di inclusione insiemistica. Ovvero dire proprio che $RRsubsetCC$ non sarebbe meglio dire che si tratta di una immersione?
Darti una risposta dipende dalla tua definizione di $\mathbb C$ (e in effetti di $\mathbb R$). La qual cosa solleva un problema: perché (e in che senso, e in che modo), distinguere copie isomorfe di $\mathbb C$, o di $\mathbb R$? La realizzabilità di un modello (e la sua univocità, in gergo tecnico la sua "categoricità") è un problema piuttosto profondo.
Scusate un attimo... ma $sqrt(4)=-2$(?)
No, \(\sqrt{4}=((-)^2)^\leftarrow(4) = \{\pm 2\}\).
La mia definizione di $CC$ è: $CC={(x,y)|x,y inRR}$
Con le operazioni:
$(a,b)*(c,d):=(ac-bd,ad+bc)$
$(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$
Ovviamente scritto alla carlona.
Per questo dico che $RR$ è isomorfo al sottocampo di $CC$, $CC_(RR)={(x,y)inCC|x inRR,y=0}$
Ovvero che dall’immersione di $RR$ in $CC$ sono legati tramite $CC_(RR)$
Quindi sarebbe $RRcongCC_(RR)subsetCC$ o più stringato $RR$\(\displaystyle \hookrightarrow \)$CC$
Con le operazioni:
$(a,b)*(c,d):=(ac-bd,ad+bc)$
$(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$
Ovviamente scritto alla carlona.
Per questo dico che $RR$ è isomorfo al sottocampo di $CC$, $CC_(RR)={(x,y)inCC|x inRR,y=0}$
Ovvero che dall’immersione di $RR$ in $CC$ sono legati tramite $CC_(RR)$
Quindi sarebbe $RRcongCC_(RR)subsetCC$ o più stringato $RR$\(\displaystyle \hookrightarrow \)$CC$
"orsoulx":
Mi spiace, ma insisto, il problema è di definizione. Prova a dire a qualche studente (o professore) di analisi che $ y=sqrt x $ non è una funzione dai reali non negativi ai reali non negativi.
Ciao
E io insisto a dirti che non è un problema di definizione, è un problema di arretratezza.
L'unica definizione possibile per la radice $n$-esima è come la scelta di una determinazione dell"inversa" (perché polidroma) della funzione olomorfa $z\mapsto z^n$. Che poi restringendo tale funzione ai reali la prassi sia di restringersi ai reali non negativi, questo è pacifico. Ma una cosa è una prassi motivata da una teoria che le sta alle spalle; tutt'altra cosa sono i mostri che questa prassi, usata ciecamente, genera.
Ogni radice $n$-esima, così come ogni logaritmo, deve essere polidroma, non è un problema eliminabile perché l'esponenziale complesso è una funzione periodica. Mi stupirebbe che un docente di analisi ignorasse questo fatto (anzi, mi aspetto sappia spiegarlo anche meglio di me).
Per quanto riguarda le scuole superiori, c'è gente che insegna matematica con una laurea in ingegneria, di cosa stiamo parlando?
"anto_zoolander":
La mia definizione di $CC$ è: $CC={(x,y)|x,y inRR}$
Con le operazioni:
$(a,b)*(c,d):=(ac-bd,ad+bc)$
$(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$
In queste definizioni, $\mathbb R$ è anche isomorfo al sottospazio $\{(0,y)\| y\in\mathbb R\}$; perché hai scelto questo e non l'altro spazio? Oppure, perché non hai scelto di identificarlo a $\{(x,x)\| x\in\mathbb R\}$?
Parte della risposta è: perché l'una o l'altra o l'altra identificazione ancora è lo stesso.
Si è isomorfo, ma otteniamo una immersione in quel caso?
O comunque che mantenga tutte le proprietà di $RR$
O comunque che mantenga tutte le proprietà di $RR$
"anto_zoolander":
Si è isomorfo, ma otteniamo una immersione in quel caso?
O comunque che mantenga tutte le proprietà di $RR$
Cos'è una "immersione"? Una funzione iniettiva? Certo. Un omomorfismo iniettivo? Rispetto a quale struttura? Spazio vettoriale, anello, gruppo abeliano, monoide?
"killing_buddha":
Per quanto riguarda le scuole superiori, c'è gente che insegna matematica con una laurea in ingegneria, di cosa stiamo parlando?
Mi fermo qui. E non sono un ingegnere.
Ciao
Per immersione intendo una funzione iniettiva la chi immagine mantenga le proprietà strutturali della struttura di partenza.
In questo caso che mi interessa che l’immagine sia un campo totalmente ordinato, e non vale se l’immagine della funzione è $CC_(RR)$?
In questo caso che mi interessa che l’immagine sia un campo totalmente ordinato, e non vale se l’immagine della funzione è $CC_(RR)$?
"anto_zoolander":
Per immersione intendo una funzione iniettiva la chi immagine mantenga le proprietà strutturali della struttura di partenza.
In questo caso che mi interessa che l’immagine sia un campo totalmente ordinato, e non vale se l’immagine della funzione è $CC_(RR)$?
Certo che vale, qual è il problema?
Scusa ho dimenticato una parola fondamentale.
‘E non vale solo se l’immagine della funzione è $CC_(RR)$?
‘E non vale solo se l’immagine della funzione è $CC_(RR)$?
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