L'uso della derivata prima

[stenel]

Ciao a tutti i presenti, ho un problema. Sto studiando l'uso della derivata prima per capire l'andamento della funzione. Il testo prende in esempio questa funzione: $y=(x^2+1)/x$. Leggendo, trovo scritto testualmente: "studiandone il segno notiamo che il denominatore è un quadrato e quindi risulta positivo per ogni valore del dominio (escludendo lo zero), il segno della derivata prima sarà quindi determinato da quello del numeratore". Ho evidenziato in grassetto proprio la frase che m'ha messo in confusione. Cosa mi vuol dire il testo? Che quando la mia funzione è fratta, il suo andamento (il relazione anche a massimi e minimi relativi) lo trovo prendendo in considerazione solo il denominatore? Se sì, perchè? Qualcuno saprebbe aiutarmi?

[Gmork]

Penso che voglia dire che se vai a fare la derivata prima di quella funzione ti ritroverai al denominatore con $x^2$ che è sempre non negativo $\forall x\in \mathbb{R}$. Inparticolare la derivata, se non ho fatto male i conti dovrebbe essere $f'(x)=\frac{x^{2}-1}{x^2}$ quindi dato che al denominatore hai una quantità sempre non negativa, non ti resta che studiare invece come si comporta il numeratore.

[*v.tondi]

Si effettivamente la derivata della tua funzione è proprio $y'=(x^2-1)/x^2$. Ovviamente non c'è bisogno di studiare numeratore e denominatore in quanto quest'ultimo è sempre positivo e allora basta osservare dove il numeratore è positivo cioè per $x<-1$ oppure per $x>1$.
Ciao.

[stenel]

"v.tondi":Si effettivamente la derivata della tua funzione è proprio $y'=(x^2-1)/x^2$. Ovviamente non c'è bisogno di studiare numeratore e denominatore in quanto quest'ultimo è sempre positivo e allora basta osservare dove il numeratore è positivo cioè per $x<-1$ oppure per $x>1$.
Ciao.

Sì la derivata prima è proprio $(x^2-1)/x^2$ Però volevo capire una cosa: in generale, al di là di questo caso, quando siamo di fronte a una funzione fratta, per trovare l'andamento della funzione stessa mi basta quindi prendere in considerazione solo il denominatore?

[Mathcrazy]

"stenel": Cosa mi vuol dire il testo? Che quando la mia funzione è fratta, il suo andamento (il relazione anche a massimi e minimi relativi) lo trovo prendendo in considerazione solo il denominatore?

No.

Studiare il segno della derivata prima, vuol dire trovare quei valori delle $x$ per cui la derivata prima è positiva e quei valori delle $x$, per cui è negativa.
(Questo serve per capire ad esempio se certi punti sono massimi, minimi, se la funzione è crescente, decrescente; insomma serve! ecc.)

La funzione $y=(x^2+1)/x$ ha derivata: $y' = (x^2-1)/(x^2)$ con $x!=0$ (in $x=0$ avresti una forma indeterminata)

Poichè il denominatore è sempre positivo (infatti qualunque valore dai alla $x$, il denominatore sarà sempre $>0$ dal momento che è elevato al quadrato!), allora l'unico caso in cui la derivata è positiva lo hai quando il numeratore è positivo, perché così avresti numeratore positivo / denominatore positivo = derivata positiva.

L'unico caso in cui, invece la derivata è negativa, lo hai quando il numeratore è negativo, poiché:
numeratore negativo / denominatore positivo = derivata negativa.

Non ci sono altri casi possibili. Hai potuto vedere che, in questo caso, la positività o negatività della derivata prima è dovuta solo dal numeratore, ma questo solo perchè il denominatore è sempre positivo..
E' un caso particolare, in genere,quando hai una frazione, bisogna studiare il segno considerando sia numeratore che denominatore, come una normale disequazione.

[stenel]

"Mathcrazy":[quote="stenel"] Cosa mi vuol dire il testo? Che quando la mia funzione è fratta, il suo andamento (il relazione anche a massimi e minimi relativi) lo trovo prendendo in considerazione solo il denominatore?

No.

Studiare il segno della derivata prima, vuol dire trovare quei valori delle $x$ per cui la derivata prima è positiva e quei valori delle $x$, per cui è negativa.
(Questo serve per capire ad esempio se certi punti sono massimi, minimi, se la funzione è crescente, decrescente; insomma serve! ecc.)

La funzione $y=(x^2+1)/x$ ha derivata: $y' = (x^2-1)/(x^2)$ con $x!=0$ (in $x=0$ avresti una forma indeterminata)

Poichè il denominatore è sempre positivo (infatti qualunque valore dai alla $x$, il denominatore sarà sempre $>0$ dal momento che è elevato al quadrato!), allora l'unico caso in cui la derivata è positiva lo hai quando il numeratore è positivo, perché così avresti numeratore positivo / denominatore positivo = derivata positiva.

L'unico caso in cui, invece la derivata è negativa, lo hai quando il numeratore è negativo, poiché:
numeratore negativo / denominatore positivo = derivata negativa.

Non ci sono altri casi possibili. Hai potuto vedere che, in questo caso, la positività o negatività della derivata prima è dovuta solo dal numeratore, ma questo solo perchè il denominatore è sempre positivo..
E' un caso particolare, in genere,quando hai una frazione, bisogna studiare il segno considerando sia numeratore che denominatore, come una normale disequazione.[/quote]

Beh, che dire Mathcrazy..che sei un grande forse è poco! Grazie E grazie anche agli altri che sono intervenuti dicendo la loro su questo mio dubbio. Alla prossima..