Luogo di punti critici con hessiano nullo

[thiezar87]

Ciao a tutti.
Devo calcolare la natura dei punti critici della funzione
$ g(x,y)=(x-1)^2(x^2-y^2) $
controllando i punti in cui il gradiente si annulla trovo i seguenti punti critici:
$ (0,0) (1/2,0) (1,0) (1,y) $ (da notare che il punto $ (1,0) $ fa parte della retta $ (1,y) $ )
Studiando la matrice hessiana e l'hessiano nei vari punti trovo che
$ (0,0) $ è punto di sella e $ (1/2,0) $ è punto di massimo relativo.
In tutti i punti della retta $ (1, y) $, invece, l'hessiano è nullo.
Ora, stando alle poche righe riportate sul mio libro di testo, dovrei controllare il segno di una derivata parziale.
Scelgo $ g_y(x,y)=(x-1)^2(-2y) $ perché mi sembra la più semplice e vedo che $ g_y<0 lArr y>0 $ e $ g_y>0 lArr y<0 $, ma solo se $ x != 1 $ (ma la mia retta non prevedeva proprio che $x=1$?).
Sempre stando al mio libro la retta $y=0$ è una retta di massimi e a questo punto dovrei considerare la funzione di una variabile $t(x)=g(1,y)$ che è nulla e, non potendone studiare i punti critici non so come continuare.
Chi mi aiuta?