Lunghezza di una curva in coordinate polari

[Thyeme]

Ciao a tutti!
Volevo chiedervi una cosa riguardante la lunghezza di una curva.
E' noto che la lunghezza di una curva, se rettificabile, è

$Vf(I)=int_I ||f'(t)||dt$

ed è altrettanto noto che, se la curva è in coordinate polari, la formula è

$L=int sqrt(((dr)/(d(theta)))^2 + r^2) d(theta)$ dove la curva è $alpha(theta)=r(theta)(cos(theta), sin(theta))$

Quello che vorrei chiedere è la dimostrazione... o meglio... mi basterrebbe anche solo sapere qual'è la derivata di $alpha(theta)$ avendo il modulo in funzione di $theta$; perchè immagino che la dimostrazione sia basata su questo!

Grazie!

[Emar1]

Una curva piana in coordinate polari può essere scritta come hai detto tu nel seguente modo:
\[\mathbf{r}(\theta) = \rho (\theta)cos(\theta)\mathbf{\hat{i}} + \rho (\theta)sin(\theta)\mathbf{\hat{j}}\]

Se provi a calcolare la derivata di $\mathbf{r}(\theta)$ rispetto a $\theta$ e poi ne calcoli il modulo ti uscirà l'espressione cercata. Non farti trarre in inganno da $\theta$, è sempre il buon vecchio parametro $t$!

[Thyeme]

haha cavolo hai ragione era anche molto semplice!

grazie mille!!