Lunghezza di una curva..
Salve.
Ecco il mio problema, devo determinare quando la lunghezza di una generica curva in forma polare converge: $ r(x)=1/{1+x^y}$
Sapendo quindi che la lunghezza è data da : $\int_1^{+\infty}\sqrt{r'(x)^2+r(x)^2}dx
Scrivo:
$L=\int_1^{+\infty}\sqrt{({-yx^{y-1}}/{(1+x^y)^2})^2+1/(1+x^y)^2}dx\approx\int_1^{+\infty}\sqrt{{x^{2(y-1)}}/{x^{4y}}+1/x^{2y}}dx=\int_1^{+\infty}\sqrt{1/{x^{2(y+1)}}+x^2/x^{2(y+1)}}dx=\int_1^{+\infty}({1+x^2}/x^{2(y+1)})^{1/2}dx\approx\int_1^{+\infty}(1/x^{2y})^{1/2}dx=\int_1^{+\infty}(1/x^{y})dx$
Quindi anche se ho esagerato nel fare i passaggi che si potevano notevolmente semplificare, trovo alla fine che la lunghezza converge se $y>1$ esattamente come negli integrali impropri.
Ho comonciato lo studio dell'integrale da 1 dato che a zero non ha nessun problema in questa tipologia di funzione, là converge sicuramente.
Ecco il mio problema, devo determinare quando la lunghezza di una generica curva in forma polare converge: $ r(x)=1/{1+x^y}$
Sapendo quindi che la lunghezza è data da : $\int_1^{+\infty}\sqrt{r'(x)^2+r(x)^2}dx
Scrivo:
$L=\int_1^{+\infty}\sqrt{({-yx^{y-1}}/{(1+x^y)^2})^2+1/(1+x^y)^2}dx\approx\int_1^{+\infty}\sqrt{{x^{2(y-1)}}/{x^{4y}}+1/x^{2y}}dx=\int_1^{+\infty}\sqrt{1/{x^{2(y+1)}}+x^2/x^{2(y+1)}}dx=\int_1^{+\infty}({1+x^2}/x^{2(y+1)})^{1/2}dx\approx\int_1^{+\infty}(1/x^{2y})^{1/2}dx=\int_1^{+\infty}(1/x^{y})dx$
Quindi anche se ho esagerato nel fare i passaggi che si potevano notevolmente semplificare, trovo alla fine che la lunghezza converge se $y>1$ esattamente come negli integrali impropri.
Ho comonciato lo studio dell'integrale da 1 dato che a zero non ha nessun problema in questa tipologia di funzione, là converge sicuramente.
Risposte
Nel primo passaggio non manca un $ y^2$ sotto radice a numeratore della prima frazione ?
Camillo
Camillo
Sei sicuro? a me non sembra.. Casomai dimmi come ti sarebbe venuta quella frazione,
Grazie..
Grazie..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo