Lunghezza di una curva
Salve, ho un esercizio su cui non riesco a trovarmi con il testo
Lunghezza della curva di equazioni
$ { ( x=a(cost)^3 ),( y= a (sint)^3):} $ con $ 0 <= t<=2pi $ e a>0
Per calcolare la lunghezza faccio l'integrale $ int_(0)^(2pi) sqrt(9a^2 (cost)^4(sint)^2 +9a^2(sint)^4 (cos^2)) dx $ da cui raccogliendo 9a^2 e sinx e cosx al quadrato ottengo $ 3aint_(0)^(2pi) sqrt((sint)^2(cost)^2) dt =3aint_(0)^(2pi) sintcost dt= 3a[-(cost)^2/2]=0 $ che è assurdo a prescindere dal fatto che il libro porti come risultato 6a
Ho pensato che magari quando ''estraggo'' dalla radice seno e coseno devo cambiare gli estremi di integrazione per assicurare la positività (non sono sicuro che sia una cosa sensata in verità). Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Lunghezza della curva di equazioni
$ { ( x=a(cost)^3 ),( y= a (sint)^3):} $ con $ 0 <= t<=2pi $ e a>0
Per calcolare la lunghezza faccio l'integrale $ int_(0)^(2pi) sqrt(9a^2 (cost)^4(sint)^2 +9a^2(sint)^4 (cos^2)) dx $ da cui raccogliendo 9a^2 e sinx e cosx al quadrato ottengo $ 3aint_(0)^(2pi) sqrt((sint)^2(cost)^2) dt =3aint_(0)^(2pi) sintcost dt= 3a[-(cost)^2/2]=0 $ che è assurdo a prescindere dal fatto che il libro porti come risultato 6a
Ho pensato che magari quando ''estraggo'' dalla radice seno e coseno devo cambiare gli estremi di integrazione per assicurare la positività (non sono sicuro che sia una cosa sensata in verità). Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Risposte
Una risposta più sintetica di quella di TeM (ma equivalente):
\[
\sqrt{ (\sin t)^2(\cos t)^2}=|\sin t \cos t|,\]
hai scordato il valore assoluto.
"ShaxV":
$ 3aint_(0)^(2pi) sqrt((sint)^2(cost)^2) dt =3aint_(0)^(2pi) sintcost dt= 3a[-(cost)^2/2]=0 $
\[
\sqrt{ (\sin t)^2(\cos t)^2}=|\sin t \cos t|,\]
hai scordato il valore assoluto.
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