Lunghezza di una asteroide (Gauss Green)
Buonasera,
nella spiegazione di oggi il professore ha illustrato il seguente esempio per sfruttare gauss-green:
SI ha la forma differenziale $\omega=-y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy$
Sia $\phi(t)=(cos^3t,sin^3t), t\in[0,2pi]$
La richiesta è di calcolare $int_\phi\omega$
Essendo forma chiusa sfruttando gauss green nota essere l'integrale di linea di seconda specie pari a 0..
Fin qui col ragionamento mi ritrovo, tuttavia poi decide di prendere una palla centrata nell'origine con raggio in modo che sia tutta inclusa nella regione di spazio racchiusa nella asteroide (tale parametrizzazione della circonferenza la chiameremo $\phi_0$).
E va a svolgere il seguente calcolo (considerando il dominio regolare tra circonferenza e asteroide e la relativa frontiera orientata):
Sapendo che per GG è zero $\int_(\phi-\phi_0)Pdx+Qdx=0$
$\int_(phi)Pdx+Qdy=\int_(phi_0)Pdx+Qdx=2pi$
* chiamo $P=-y/(x^2+y^2)$ e $Q=x/(x^2+y^2)$
Qui vado in crisi perché non capisco come la lunghezza, che poi sarebbe ciò che esce da tale integrazione, sia 2pi-greco senza indicazione alcuna del raggio.
Non capisco come l'integrale su $\int(phi_0)Pdx+Qdx=2pi$ qualunque sia la palla valga $2pi"$, ma una lunghezza non dovrebbe dipendere dal raggio?
spero in qualche dritta
nella spiegazione di oggi il professore ha illustrato il seguente esempio per sfruttare gauss-green:
SI ha la forma differenziale $\omega=-y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy$
Sia $\phi(t)=(cos^3t,sin^3t), t\in[0,2pi]$
La richiesta è di calcolare $int_\phi\omega$
Essendo forma chiusa sfruttando gauss green nota essere l'integrale di linea di seconda specie pari a 0..
Fin qui col ragionamento mi ritrovo, tuttavia poi decide di prendere una palla centrata nell'origine con raggio in modo che sia tutta inclusa nella regione di spazio racchiusa nella asteroide (tale parametrizzazione della circonferenza la chiameremo $\phi_0$).
E va a svolgere il seguente calcolo (considerando il dominio regolare tra circonferenza e asteroide e la relativa frontiera orientata):
Sapendo che per GG è zero $\int_(\phi-\phi_0)Pdx+Qdx=0$
$\int_(phi)Pdx+Qdy=\int_(phi_0)Pdx+Qdx=2pi$
* chiamo $P=-y/(x^2+y^2)$ e $Q=x/(x^2+y^2)$
Qui vado in crisi perché non capisco come la lunghezza, che poi sarebbe ciò che esce da tale integrazione, sia 2pi-greco senza indicazione alcuna del raggio.
Non capisco come l'integrale su $\int(phi_0)Pdx+Qdx=2pi$ qualunque sia la palla valga $2pi"$, ma una lunghezza non dovrebbe dipendere dal raggio?
spero in qualche dritta
Risposte
Quella forma differenziale è localmente esatta, se la integri su qualsasi curva che circonda l'origine, il risultato è lo stesso, perché le curve che circondano l'origine sono omotopoe tra loro.
Però a conti fatti non capisco cosa voglia dire parlare di "lunghezza" se quell'asteroide è pari alla lunghezza di qualsiasi curva che circonda l'origine. Non avendo il legame con il raggio, come dici, va bene tutto. Quindi non è una "Lunghezza" intuitivamente parlando.
Devi scusarmi ma sono nuovo a questi concetti (li vedo per la prima volta nella mia vita oggi) e sto cercando di ordinare le idee, probabilmente sei stato chiarissimo ma sono incapace io di comprenderti appieno Perdonami.
Ti ringrazio molto per l'aiuto che mi stai dando.
Devi scusarmi ma sono nuovo a questi concetti (li vedo per la prima volta nella mia vita oggi) e sto cercando di ordinare le idee, probabilmente sei stato chiarissimo ma sono incapace io di comprenderti appieno
Perdonami.Ti ringrazio molto per l'aiuto che mi stai dando.
Scusa, ma “lunghezza” cosa?
Non vedo calcoli relativi a “lunghezza” da nessuna parte nel tuo post...
Non vedo calcoli relativi a “lunghezza” da nessuna parte nel tuo post...
La lunghezza non ha niente a che fare, tu stai calcolando l'integrale di quella forma differenziale lungo l'asteroide, non stai calcolando la lunghezza dell'asteroide
Non lo so, sono un deficiente.
Grazie
Grazie
@vulplasir: avete ragione, non so perché mi ero fissato.
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