Lunghezza dell'astroide
Avrei bisogno di una mano a capire dove sbaglio nel calcolare la lunghezza dell'astroide. Partiamo dalle origini:
L'astroide può essere pensato come un'applicazione
$gamma: [0,2pi]->mathbb{R}$ con $gamma(t)=(x(t),y(t))=(acos^3t,asin^3t)$
Ora la lunghezza si calcola con la formula:
$l_{gamma}=int_0^{2pi}sqrt(dotx^2(t)+doty^2(t))dt=int_0^{2pi}sqrt((-3acos^2tsint)^2+(3asin^2tcost)^2)dt=int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^4tsin^2t+9a^2sin^4tcos^2t)dt=int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^2tsin^2t(cos^2t+sin^2t))dt=$
$int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^2tsin^2t)dt=int_0^{2pi}3acostsintdt=3aint_0^{2pi}costsintdt=3a[(sin^2t)/2]_0^{2pi}=0$
ma questo risultato è assurdo. Penso che il problema riguardi in un certo senso il fatto che la funzione non sia biunivoca in $[0,2pi]$ e questo crei qualche problema, ma non so come risolverlo. Qualcuno mi illumini. Grazie.
L'astroide può essere pensato come un'applicazione
$gamma: [0,2pi]->mathbb{R}$ con $gamma(t)=(x(t),y(t))=(acos^3t,asin^3t)$
Ora la lunghezza si calcola con la formula:
$l_{gamma}=int_0^{2pi}sqrt(dotx^2(t)+doty^2(t))dt=int_0^{2pi}sqrt((-3acos^2tsint)^2+(3asin^2tcost)^2)dt=int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^4tsin^2t+9a^2sin^4tcos^2t)dt=int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^2tsin^2t(cos^2t+sin^2t))dt=$
$int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^2tsin^2t)dt=int_0^{2pi}3acostsintdt=3aint_0^{2pi}costsintdt=3a[(sin^2t)/2]_0^{2pi}=0$
ma questo risultato è assurdo. Penso che il problema riguardi in un certo senso il fatto che la funzione non sia biunivoca in $[0,2pi]$ e questo crei qualche problema, ma non so come risolverlo. Qualcuno mi illumini. Grazie.
Risposte
"fabry1985mi":
L'astroide può essere pensato come un'applicazione
Semmai come immagine di un'applicazione...
$gamma: [0,2pi]->mathbb{R}$
Immagino volessi dire: definita in $[0,2pi]$ a valori in $RR^2$...
Comunque dato che è una curva particolarmente "simmetrica",
anche se non regolare in ben 4 punti, io moltiplicherei
per 4 l'integrale tra 0 e $pi/2$.
La lunghezza dell'astroide o asteroide è:
$L=4*(int_0^{pi/2} 3a*sen(t)cos(t)dt)=4*(3a*int_0^{pi} sin(z) dz) " (dove z=2t) "=3a*(cos(pi) - cos(0))=-3a*(-2)= 6a$
Saluti, Ermanno.
$L=4*(int_0^{pi/2} 3a*sen(t)cos(t)dt)=4*(3a*int_0^{pi} sin(z) dz) " (dove z=2t) "=3a*(cos(pi) - cos(0))=-3a*(-2)= 6a$
Saluti, Ermanno.
Appunto...
"Nidhogg":
La lunghezza dell'astroide o asteroide è:
$L=4*(int_0^{2pi} 3a*sen(t)cos(t)dt)=4*(3a*int_0^{2pi} sin(z) dz) " (dove z=2t) "=3a*(cos(pi) - cos(0))=-3a*(-2)= 6a$
Saluti, Ermanno.
Forse come secondo estremo di integrazione, nel primo integrale volevi scrivere $pi/2$ e nel secondo $pi$, al posto di $2pi$...
Si Francesco, errore di "battitura"!!!
Grazie della segnalazione!
Saluti, Ermanno.
Grazie della segnalazione!
Saluti, Ermanno.
Grazie mille a tutti per il chiarimento. Comunque mi resta ancora un dubbio: perchè se integro tra $0$ e $2pi$ mi viene $0$, mentre se integro tra $0$ e $pi/2$ e poi moltiplico per $4$ viene $6a$?
Secondo me perché la curva non è regolare... Una curva è regolare
quando il vettore tangente in ogni suo punto è diverso dal vettore nullo,
e in questo caso non è così. In modo equivalente, deve esistere
in ogni punto la retta tangente. Ci sono ben 4 punti di "cuspide", corrispondenti
a $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.
quando il vettore tangente in ogni suo punto è diverso dal vettore nullo,
e in questo caso non è così. In modo equivalente, deve esistere
in ogni punto la retta tangente. Ci sono ben 4 punti di "cuspide", corrispondenti
a $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.
"fabry1985mi":
$int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^2tsin^2t)dt=int_0^{2pi}3acostsintdt$
ma questo risultato è assurdo. Penso che il problema riguardi in un certo senso il fatto che la funzione non sia biunivoca in $[0,2pi]$ e questo crei qualche problema, ma non so come risolverlo. Qualcuno mi illumini. Grazie.
$int_0^{2pi}sqrt(9a^2cos^2tsin^2t)dt=int_0^{2pi} |3acostsint| \ dt$
Hai proprio ragione Fioravante... Quindi la non regolarità della curva è sbagliato come motivo?
no Reynolds,
non influisce, altrimenti avrebbe già creato guai anche su un 1/4 dell'astroide (per via della simmetria che è già stata osservata)
era tutto molto banale, è che dovrebbe essere un "riflesso automatico" il fatto che $\sqrt{x^2}=|x|$, ma non sempre lo è...
ciao
non influisce, altrimenti avrebbe già creato guai anche su un 1/4 dell'astroide (per via della simmetria che è già stata osservata)
era tutto molto banale, è che dovrebbe essere un "riflesso automatico" il fatto che $\sqrt{x^2}=|x|$, ma non sempre lo è...
ciao
In realtà io avevo visto solo la parte finale dell'integrale, non ho visto tutto lo svolgimento dall'inizio...
Probabilmente se l'avessi guardato con calma me ne sarei accorto...
Non lo dico per giustificarmi
ma perché è proprio così...
Probabilmente se l'avessi guardato con calma me ne sarei accorto...
Non lo dico per giustificarmi
ma perché è proprio così...
Reynolds,
il commento era soprattutto per il "postatore iniziale".
Ho visto il thread e non capivo come mai le incongruenze. Sono intervenuto proprio solo perché ho visto che non era stato notato.
Ci mancherebbe altro che uno si dovesse giustificare (tra l'altro, oggi non è giornata di esami).
Buon sabato (su matematicamente.it ???)
ciao
il commento era soprattutto per il "postatore iniziale".
Ho visto il thread e non capivo come mai le incongruenze. Sono intervenuto proprio solo perché ho visto che non era stato notato.
Ci mancherebbe altro che uno si dovesse giustificare (tra l'altro, oggi non è giornata di esami).
Buon sabato (su matematicamente.it ???)
ciao
Hai perfettamente ragione. Grazie Fioravante. Solo che la funzione valore assoluto spesso viene buttata via perchè l'argomento è positivo, ma in effetti qui non era vero. Grazie ancora.
E se ora vi dicessi che l'area racchiusa dall'astroide è $3/8 pi$ ? Vi torna?
torna e può essere calcolata con le formule di Gauss-Green
Vuoi dire il teorema della divergenza no?
E' con quello che l'ho calcolata infatti.
E' con quello che l'ho calcolata infatti.
Si, è la stessa cosa...
Dal il teorema di Gauss-Green è facile vedere che l'area $A$ di una curva $gamma$, sotto opportune ipotesi, è data da
$A=int_(deltaA^+)xdy=-int_(deltaA^+)ydx=1/2int_(deltaA^+)(xdy-ydx).$
Adesso, tenuto conto che $x=rcos^3t$, $y=rsen^3t$, $0<=t<=2pi$, si ha applicando l'ultima uguaglianza che
$A=r^2/2int_0^(2pi)(3cos^4t*sen^2t+3sen^4t*cos^2t)dt=3/8pir^2$.
Ci sta che il tuo libro utilizzi tutt'altra terminologia... comunque, quelle tre uguaglianze che ho scritto si utilizzano a seconda del tipo di curva che si deve integrare.
Dal il teorema di Gauss-Green è facile vedere che l'area $A$ di una curva $gamma$, sotto opportune ipotesi, è data da
$A=int_(deltaA^+)xdy=-int_(deltaA^+)ydx=1/2int_(deltaA^+)(xdy-ydx).$
Adesso, tenuto conto che $x=rcos^3t$, $y=rsen^3t$, $0<=t<=2pi$, si ha applicando l'ultima uguaglianza che
$A=r^2/2int_0^(2pi)(3cos^4t*sen^2t+3sen^4t*cos^2t)dt=3/8pir^2$.
Ci sta che il tuo libro utilizzi tutt'altra terminologia... comunque, quelle tre uguaglianze che ho scritto si utilizzano a seconda del tipo di curva che si deve integrare.
Sì esatto, io però ho preferito studiarmi il
teorema della divergenza in $RR^n$ per poi
usarlo in $RR^2$, perché faccio fatica
a ricordarmi quella formula con la $x$,
la $y$ e il segno meno in mezzo, che sta
tra l'altro anche sul mio libro.
teorema della divergenza in $RR^n$ per poi
usarlo in $RR^2$, perché faccio fatica
a ricordarmi quella formula con la $x$,
la $y$ e il segno meno in mezzo, che sta
tra l'altro anche sul mio libro.
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