Lunghezza curve e area superfici

[Sk_Anonymous]

Salve, stavo svolgendo esercizi in vista dell'imminente esame di Analisi 2 e volevo chiedervi una cosa. Quando è data una curva sotto forma di equazioni parametriche o cartesiane, le quali però vanno interpretate in un sistema di coordinate polari, è necessario, mediante opportune trasformazioni, risalire alle equazioni riferite a un sistema di coordinate cartesiane per calcolarne la sua lunghezza. Ciò tuttavia non accade con l'area di una superficie. Ad esempio, si supponga di avere una superficie data da equazioni parametriche riferite a un sistema di coordinate polari, e si supponga di volerne calcolare l'area. Mentre nel caso delle curve bisognava prima trovare l'espressione analitica della curva in coordinate cartesiane, ciò non accade con le superfici; infatti, anche se l'equazione data è riferita alle coordinate polari, basta applicare le solite formule e si ha il valore dell'area. Sapete dirmi innanzitutto se quello che ho scritto è vero? Se sì, perché?
Spero di non aver fatto una domanda ovvia o stupida. Grazie.

[Sk_Anonymous]

Ciao, allora, cerco di essere più preciso. Consideriamo una curva data sotto forma di equazioni parametriche riferite ad un sistema di coordinate polari. Vogliamo calcolarne la lunghezza. Per fare ciò, è necessario innanzitutto trovare le equazioni parametriche della curva in un sistema di coordinate cartesiane. Fatto questo, si applica la formula per la lunghezza e si risolve un integrale definito di Riemann.
Supponiamo ora di avere una superficie data sotto forma di equazioni parametriche riferite ad un sistema di coordinate polari. Vogliamo calcolarne l'area. Per fare ciò non è necessario trovare la rappresentazione parametrica della superficie in coordinate cartesiane, ma si può benissimo applicare la formula per il calcolo dell'area anche se la superficie è data in equazioni parametriche riferite a coordinate polari. Perché nel caso delle superfici, per calcolarne l'area, non è necessario trovare prima una rappresentazione della superficie in coordinate cartesiane?