Lunghezza curva regolare
Se $\phi: [a,b] -> R^n$ è una curva regolare (le sue componenti nell'intervallo sono di classe $C^1$) allora essa è rettificabile e la sua lunghezza è.
$l(\phi) = \int_a^b \sqrt{\phi_1'^2 + \phi_2'^2...+\phi_n'^2}$
Perchè se la funzione va da $R->R$ vale $ l(\phi)= \int_a^b \sqrt{1 + f'^2(x)}$ ?
$l(\phi) = \int_a^b \sqrt{\phi_1'^2 + \phi_2'^2...+\phi_n'^2}$
Perchè se la funzione va da $R->R$ vale $ l(\phi)= \int_a^b \sqrt{1 + f'^2(x)}$ ?
Risposte
Hai provato a parametrizzare il grafico di \(f\)?
Oggi il professore a fine lezione ha fatto qualche cenno su curve in $R^n$ semplici. chiuse, piane, rettificabili, regolari e stavo cercando di approfondire sul libro che non è il massimo (Bertsh dal Passo) ma sto incontrando qualche difficoltà. Parametrizzare riguarda il cambiamento di variabili?
@Smaug.
Parametrizzare,in questo contesto,vuol dire individuare una rappresentazione parametrica della curva in questione:
e,se $f in C^1([a,b])$,per $G_f$ ve n'è una immediata,
che giustifica subito quella formula..
Saluti dal web.
Parametrizzare,in questo contesto,vuol dire individuare una rappresentazione parametrica della curva in questione:
e,se $f in C^1([a,b])$,per $G_f$ ve n'è una immediata,
che giustifica subito quella formula..
Saluti dal web.
Grazie mille.
C'è anche un teorema, il quale dice che qualsiasi parametrizzazione scelgo per la curva, la lunghezza della medesima non cambia, ma sempre se essa è rettificabile e differenziabile.
C'è anche un teorema, il quale dice che qualsiasi parametrizzazione scelgo per la curva, la lunghezza della medesima non cambia, ma sempre se essa è rettificabile e differenziabile.
Comunque nel caso in cui sto calcolando $\int_a^b f(\gamma (t))\||\gamma' (t)||$ concettualmente sto trovando la massa del sostegno della curva (che sarebbe l'insieme imamgine della curva) ?
No.
Con quella formula lì calcoli l'integrale curvilineo \(\int_{+\gamma} f(x)\ \text{d} \sigma\), ove il \(+\) denota il verso della curva indotto dalla parametrizzazione.
Con quella formula lì calcoli l'integrale curvilineo \(\int_{+\gamma} f(x)\ \text{d} \sigma\), ove il \(+\) denota il verso della curva indotto dalla parametrizzazione.
Pensavo che $||\gamma' (t)|| dt$ fosse la lunghezza del sostegno che moltiplicato per $f(\gamma (t))\$ che è la densità (l'ho letto in un esempio) mi potesse dare se integrato la massa totale del sostegno
Caaalma.
Supponiamo che la curva \(\Gamma\) sia un oggetto fisico lineare (quindi: dotato di massa ed avente una dimensione d'ordine di grandezza molto maggiore delle rimanenti due) regolare ed avente densità lineare \(\rho (x)\) continua.
Allora l'integrale curvilineo:
\[
\int_{\Gamma} \rho(x)\ \text{d} \sigma = \int_a^b \rho (\gamma (t))\ |\gamma^\prime (t)|\ \text{d} t
\]
(ove \(\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}^3\) è una r.p. di \(\Gamma\) che induce il verso "buono") rappresenta la massa totale della curva \(\Gamma\).
Ma questa è un'interpretazione fisica, non è un concetto matematico.
Inoltre, noto che la densità \(\rho\) è suscettibile di una definizione matematica precisa, ma per capirla servono nozioni avanzate di Teoria della Misura, così come il concetto di "massa".
Supponiamo che la curva \(\Gamma\) sia un oggetto fisico lineare (quindi: dotato di massa ed avente una dimensione d'ordine di grandezza molto maggiore delle rimanenti due) regolare ed avente densità lineare \(\rho (x)\) continua.
Allora l'integrale curvilineo:
\[
\int_{\Gamma} \rho(x)\ \text{d} \sigma = \int_a^b \rho (\gamma (t))\ |\gamma^\prime (t)|\ \text{d} t
\]
(ove \(\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}^3\) è una r.p. di \(\Gamma\) che induce il verso "buono") rappresenta la massa totale della curva \(\Gamma\).
Ma questa è un'interpretazione fisica, non è un concetto matematico.
Inoltre, noto che la densità \(\rho\) è suscettibile di una definizione matematica precisa, ma per capirla servono nozioni avanzate di Teoria della Misura, così come il concetto di "massa".
capisco...grazie mille 
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